/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 7228501

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wpisanego w kulę o promieniu R tworzy z płaszczyzną podstawy kąt α . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.

PIC

Podana informacja o promeniu kuli opisanej na ostrosłupie, mówi nam w szczególności, że promień okręgu opisanego na trójkącie ACS jest równy R . To pozwala (z twierdzenia sinusów) łatwo wyliczyć krawędź boczną.

CS ----- = 2R ⇒ CS = 2R sin α. sin α

Teraz, z trójkąta AF S wyliczamy odcinki AF i FS .

AF-- AS = co sα ⇒ AF = AS co sα = 2R sin α cosα FS ----= sin α ⇒ FS = AS sin α = 2R sin2 α. AS

Odcinek AF to połowa przekątnej kwadratu w podstawie, więc łatwo wyliczyć długość boku a tego kwadratu.

√ -- 4R sin α cosα √ -- a 2 = 2AF ⇒ a = -----√--------= 2 2R sin αco sα. 2

Wysokość DS ściany bocznej wyliczamy z trójkąta FDS

∘ ---2------2 ∘ --2----4-------2---2-----2--- DS = F S + FD = 4R sin α + 2R sin--αcos--α-=-------------- ∘ ----2---------2--- ∘ 2 2 2 = R sin α 4sin α+ 2cos α = R sin α 2 sin α + 2(sin α + c os α) ∘ ----2------- √ -- ∘ ---2------ = R sin α 2sin α+ 2 = R 2sin α sin α + 1 .

Możemy teraz policzyć pole powierzchni całkowitej.

2 1- Pc = a + 4 ⋅2 a⋅SD = a(a+ 2SD ) = √ -- √ -- √ -- ∘ ---2------ = 2 2R sin α cosα (2 2R sinα cosα + 2R 2 sinα sin α + 1) = 2 2 ∘ ---2------ = 8R sin αco sα(co sα + sin α+ 1)

 
Odpowiedź: ---------- 2 2 ∘ 2 8R sin α cos α(cos α+ sin α + 1)

Wersja PDF