/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 7380409

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest dwa razy krótsza od promienia okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa, a jego objętość jest równa 9. Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa oraz tangens kąta, jaki tworzy krawędź boczna z krawędzią podstawy ostrosłupa.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy ostrosłupa.

PIC

Pole podstawy jest równe 2√ - Pp = a4-3 , a wysokość trójkąta w podstawie jest równa

√ -- a--3- AD = 2 .

Wiemy ponadto, że

√ -- √ -- 1- 1- 2- 1- a---3 a--3- SO = 2AO = 2 ⋅ 3AD = 3 ⋅ 2 = 6 ,

więc z podanej objętości ostrosłupa możemy obliczyć a .

1- 9 = V = 3 Pp ⋅SO 2√ -- √ -- 3 9 = 1-⋅ a---3-⋅ a-3-= a-- / ⋅24 3 4 6 24 a3 = 216 ⇒ a = 6.

Mamy zatem

√ -- √ -- SO = a--3-= 3 √6-- a 3 √ -- AD = -----= 3 3 2 √ -- √ -- DO = 1AD = 1⋅ 3 3 = 3 3∘ -------3---- ------ √ -- SD = SO 2 + DO 2 = √ 3 + 3 = 6.

Pole powierzchni bocznej jest więc równe

1 √ -- Pb = 3⋅ -⋅ a⋅SD = 9 6. 2

Obliczamy jeszcze tangens kąta SCD .

√ -- SD 6 tg ∡SCD = ----= ---. CD 3

 
Odpowiedź: √ -- √6- Pb = 9 6, tg α = 3 .

Wersja PDF