Zadanie nr 7463453

W stożek, którego wysokość ma długość H = 12 dm , a promień jego podstawy ma długość R = 4 dm wpisano walec, o podstawach równoległych do podstawy stożka. Jakie powinny być wymiary walca, aby jego objętość była największa?

Rozwiązanie

Naszkicujmy sobie przekrój osiowy opisanej sytuacji

Z podobieństwa trójkątów ABC i ADE mamy

AB--= AD-- BC DE 4-−-a- 4-- 1- b = 12 = 3 12 − 3a = b.

Objętość walca wynosi więc

2 2 2 3 V = πa b = πa (12 − 3a) = π (12a − 3a ).

Pozostało wyznaczyć dla jakiego w przedziale (0,4) wartość funkcji f (a) = 12a2 − 3a3 jest największa. Liczymy pochodną

f′(a) = 24a − 9a 2 = 3a(8 − 3a).

Widać stąd, że na przedziale (0, 8) 3 funkcja jest rosnąca (pochodna jest dodatnia), a na przedziale 8 (3,4 ) malejąca (pochodna jest ujemna). Zatem największą objętość otrzymamy dla a = 83 . Wtedy b = 4 .
Odpowiedź: promień podstawy: 8dm 3 , wysokość: 4 dm