/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 8105831

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Sześcian ABCDKLMN przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną BD podstawy, która jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α takim, że tg α = 43 (zobacz rysunek).

PIC

Odległość wierzchołka C od płaszczyzny tego przekroju jest równa 6. Oblicz objętość sześcianu ABCDKLMN .

Rozwiązanie

Niech P będzie środkiem podstawy a R punktem, w którym płaszczyzna opisana w treści zadania przecina krawędź boczną sześcianu.

PIC

Przy tych oznaczeniach odległość punktu C od płaszczyzny przekroju to po prostu wysokość CS opuszczona z wierzchołka C w trójkącie prostokątnym P CR . Zanim jednak wykorzystamy tę informację, obliczmy sin α .

4 sin α 2 --= tg α = ----- /() 3 2 co sα 2 16-= sin--α-= --sin--α--- 9 cosα 1− sin 2α ∘ --- 16 − 16 sin 2α = 9 sin 2α ⇒ sinα = 16-= 4-. 25 5

Jeżeli oznaczymy przez a długość krawędzi sześcianu, to mamy

SC--= sin α P C -6-- 4- 5- -2-- -15- a√-2 = 5 ⇒ a = 6 ⋅4 ⋅√ 2-= √ 2-. 2

Objętość sześcianu jest więc równa

( )3 √ -- V = a3 = √15- = 33√75-= 3375---2 2 2 2 4

 
Odpowiedź: √- 3375-2 4

Wersja PDF