/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 8204957

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC . Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa 8. Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi ostrosłupa ABCS oraz cosinus kąta, jaki tworzą krawędź boczna i płaszczyzna podstawy ostrosłupa.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy ostrosłupa.

PIC

Pole podstawy jest równe 2√ - Pp = a4-3 , a wysokość trójkąta w podstawie jest równa

√ -- a--3- AD = 2 .

Wiemy ponadto, że SO = AD , więc z podanej objętości ostrosłupa możemy obliczyć a .

1- 8 = V = 3Pp ⋅SO 2√ -- √ -- 3 8 = 1-⋅ a--3-⋅ a--3-= a-- / ⋅8 3 4 2 8 a3 = 8⋅ 8 ⇒ a = 2 ⋅2 = 4.

Mamy zatem

√ -- a 3 √ -- SO = AD = -----= 2 3 2 √ -- 2- 2- √ -- 4--3- AO = 3AD = 3 ⋅2 3 = 3 ∘ ------------ ∘ -------- ∘ ------- ∘ --- √ --- SA = SO 2 + AO 2 = 12 + 48-= 2 3 + 12-= 2 39-= 2--39-. 9 9 9 3

Suma długości krawędzi ostrosłupa jest więc równa

√ --- 3a + 3SA = 12+ 2 39.

Obliczamy jeszcze cosinus kąta SAD .

√- √ --- AO 433- 2 2 13 cos ∡SAD = ----= 2√-39 = √-----= ------. SA --3-- 13 13

 
Odpowiedź: √ --- √ -- 12 + 2 3 9, co sα = 2-13- 13 .

Wersja PDF