/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 8207365

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Podstawą graniastosłupa prostego ′ ′ ′ ′ ABCDA B C D jest romb ABCD . Przekątna AC ′ tego graniastosłupa ma długość 6 i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 ∘ , a przekątna BD ′ ma długość √ -- 3 2 . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

PIC

Rozwiązanie

Patrzymy najpierw na trójkąt prostokątny ′ ACC . Mamy w nim

√ -- √ -- √ -- AC---= cos30 ∘ = --3- ⇒ AC = --3-⋅6 = 3 3 AC ′ 2 2 CC-′- ∘ 1- ′ 1- AC ′ = sin 30 = 2 ⇒ CC = 2 ⋅6 = 3.

Teraz patrzymy na trójkąt prostokątny BDD ′ . Na mocy twierdzenia Pitagorasa mamy

∘ ------------------ ′ 2 ′ 2 √ ------- √ -- BD = (BD ) − (DD ) = 18 − 9 = 9 = 3.

Obliczamy teraz pole rombu w podstawie – skorzystamy ze wzoru z przekątnymi.

√ -- 1 1 √ -- 9 3 PABCD = --⋅BD ⋅AC = --⋅3 ⋅3 3 = -----. 2 2 2

Teraz z trójkąta prostokątnego w podstawie graniastosłupa obliczamy długość krawędzi podstawy.

( 1 ) 2 ( 1 )2 27+ 9 36 AB 2 = -AC + -BD = -------= ---= 9 ⇒ AB = 3. 2 2 4 4

Pole powierzchni bocznej jest więc równe

′ Pb = 4 ⋅PABB ′A ′ = 4⋅AB ⋅CC = 4 ⋅3 ⋅3 = 36.

Pole powierzchni całkowitej jest więc równe

√ -- Pc = 2PABCD + Pb = 9 3+ 36.

 
Odpowiedź: √ -- Pc = 9 3+ 36

Wersja PDF