/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 8334532

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości x . Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

PIC

  • Wyznacz objętość V drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej x .
  • Wyznacz dziedzinę funkcji V .
  • Oblicz tę wartość x , dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja V osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

Rozwiązanie

  • Wszystkie listewki mają ten sam przekrój o polu 2 x , więc wystarczy ustalić jaka jest ich łączna długość. Są 4 pionowe długości 6, cztery długości 6− 2x (skośne na rysunku) i 4 długości 10 − 2x − 2x = 10− 4x (poziome na rysunku). Ich łączna długość jest równa
    4(6 + 6 − 2x + 10 − 4x ) = 4(22 − 6x) = 8(11− 3x)

    i objętość całego szkieletu jest równa

    2 V (x) = 8(11 − 3x )x .

     
    Odpowiedź: V (x) = 8(11− 3x)x2

  • Wymiary szkieletu przedstawionego na rysunku muszą spełniać nierówności
    ( |{ x > 0 |( 6 > 2x ⇐ ⇒ x < 3 10− 2x > 2x ⇐ ⇒ x < 52.

    Dziedziną funkcji V (x) jest więc przedział ( 5) 0, 2 .  
    Odpowiedź: ( ) x ∈ 0, 52

  • Liczymy pochodną funkcji
    2 2 3 f(x) = (11 − 3x )x = 11x( − 3x ) ′ 2 22 f (x) = 22x − 9x = − 9x x− --- . 9

    Widzimy teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale ( ) 0, 292 i ujemna w przedziale (22, 5) 9 2 . To oznacza, że funkcja f (a więc też funkcja V = 8f ) rośnie w przedziale ( 22⟩ 0,-9 i maleje w przedziale ⟨ ) 229-, 52 . W takim razie największą objętość szkieletu otrzymamy dla x = 22 9 i jest ona równa

    ( ) ( ) V 22- = 8 11− 22- ⋅ 484-= 8 ⋅ 11-⋅ 48-4 = 42-592 9 3 81 3 81 2 43

     
    Odpowiedź: (22) 42592 Vmax = V -9 = -243--

Wersja PDF