/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 8583723

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości x . Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

PIC

  • Wyznacz objętość V drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej x .
  • Wyznacz dziedzinę funkcji V .
  • Oblicz tę wartość x , dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja V osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.

Rozwiązanie

  • Wszystkie listewki mają ten sam przekrój o polu x2 , więc wystarczy ustalić jaka jest ich łączna długość. Są 4 pionowe listewki długości 7, cztery długości 6− 2x (poziome na rysunku) i 4 długości 17 − 4x − 2x = 17− 6x (skośne na rysunku). Ich łączna długość jest równa
    4(7 + 6 − 2x + 17 − 6x ) = 4(30 − 8x) = 8(15− 4x)

    i objętość całego szkieletu jest równa

    V (x) = 8(15 − 4x )x2.

     
    Odpowiedź: 2 V (x) = 8x (15 − 4x)

  • Wymiary szkieletu przedstawionego na rysunku muszą spełniać nierówności
    ( | x > 0 { | 6 > 2x ⇐ ⇒ x < 3 ( 17 − 4x > 2x ⇐ ⇒ x < 17. 6

    Dziedziną funkcji V (x) jest więc przedział ( ) 0, 167 .  
    Odpowiedź: ( 17) x ∈ 0,6-

  • Liczymy pochodną funkcji
    2 2 3 f (x) = (15 − 4x )x = 15x −( 4x ) ( ) ′ 2 30 5 f (x) = 30x − 1 2x = − 12x x− --- = − 12x x − -- . 12 2

    Widzimy teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale ( ) 0, 52 i ujemna w przedziale ( 5 17) 2,6 . To oznacza, że funkcja f (a więc też funkcja V = 8f ) rośnie w przedziale (0 , 5⟩ 2 i maleje w przedziale ⟨ ) 52, 176 . W takim razie największą objętość szkieletu otrzymamy dla 5 x = 2 i jest ona równa

    ( ) V 5- = 8 (15− 10)⋅ 25-= 8⋅5 ⋅ 25-= 250 2 4 4

     
    Odpowiedź: ( 5) Vmax = V 2 = 250

Wersja PDF