Zadanie nr 9149958

Rozpatrujemy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne o polu powierzchni całkowitej . Wyznacz wysokość i długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Rozwiązanie

Niech i oznaczają odpowiednio długość krawędzi podstawy i wysokość prostopadłościanu.

Z podanego pola powierzchni całkowitej mamy

2 P = 2a + 4aH / : 4 P a 2 P a2 -- = ---+ aH ⇒ aH = --− --. 4 2 4 2

Liczymy objętość prostopadłościanu.

( P a2) V = a2H = a ⋅aH = a -- − --- . 4 2

Aby wyznaczyć największą możliwą objętość prostopadłościanu liczymy pochodną funkcji

( 2 ) 3 V (a) = a P-− a-- = − a-+ P-a 4 2 2 4

określonej dla ( ∘ -) P- a ∈ 0 , 2 . Liczymy

( ) ( ∘ --) ( ∘ --) V′(a) = − 3-a2 + P-= − 3- a 2 − P- = − 3- a− P- a + P- . 2 4 2 6 2 6 6

Wykresem pochodnej jest fragment paraboli o ramionach skierowanych w dół, więc pochodna jest dodatnia w przedziale ( ∘ -) 0, P6- i ujemna w przedziale ( ∘ --∘ -) P, P- 6 2 . To oznacza, że w punkcie ∘ -- a = P- 6 funkcja osiąga największą wartość. Wysokość prostopadłościanu jest wtedy równa