/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 9201283

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Spawacz ma wykonać z blachy konstrukcję, która powstaje przez wycięcie z graniastosłupa prostego trójkątnego innego graniastosłupa prostego trójkątnego. Wymiary elementów są podane na rysunku.

PIC

  • Oblicz objętość tej konstrukcji.
  • Oblicz łączne pole powierzchni wszystkich 7 ścian otrzymanej bryły. Wynik podaj z zaokrągleniem do 2 1 cm .

Rozwiązanie

Oznaczmy wierzchołki danej bryły tak, aby móc łatwo się do nich odnosić.

PIC

  • Zauważmy, że AB = DE + HK = 5 , więc możemy wyliczyć długość krawędzi BC z twierdzenia Pitagorasa.
    ∘ ------------ ∘ ------------ √ --------- BC = AC 2 − AB 2 = DG 2 − AB 2 = 169− 25 = 12 .

    Stąd

    KL = BC − FG = 12 − 9 = 3.

    Zauważmy też, że AD = BK + LF = 1 0 .

    Mamy już wszystkie długości odcinków potrzebne do wyliczenia objętości danej bryły. Objętość dużego graniastosłupa, przed wycięciem małego, jest równa

    1 1 --⋅AB ⋅BC ⋅AD = --⋅5 ⋅12⋅ 10 = 300 . 2 2

    Od tej objętości trzeba odjąć objętość wyciętego graniastosłupa, która jest równa

    1 1 --⋅HK ⋅ KL ⋅LF = --⋅2 ⋅3 ⋅5 = 15. 2 2

    Zatem szukana objętość jest równa

    300 − 15 = 2 85.

     
    Odpowiedź: 3 2 85 cm

  • Zacznijmy od obliczenia pola powierzchni dużego graniastosłupa przed wycięciem małego.
    1- 2⋅ 2AB ⋅BC + AD (AB + BC + AC ) = 5 ⋅12+ 10(5 + 12 + 13) = 360.

    Jak się to pole różni od pola otrzymanej bryły? – trzeba odjąć pola prostokątów o bokach HK ,HE oraz KL ,LF , a potem dodać pole prostokąta HLF E . Zauważmy, że trójkąt HKL dokładnie odpowiada trójkątowi wyciętemu u góry, więc możemy nie brać go pod uwagę.

    Zacznijmy od policzenia długości odcinka HL (z twierdzenia Pitagorasa).

    ∘ ------------ √ ------ √ --- HL = HK 2 + KL 2 = 4+ 9 = 13.

    Zatem szukane pole powierzchni jest równe

    360 − HK ⋅HE − KL ⋅LF + HL ⋅HE = √ --- √ --- = 360 − 1 0− 15+ 5 13 = 33 5+ 5 13 ≈ 353 .

     
    Odpowiedź: 2 3 53 cm

Wersja PDF