Zadanie nr 9215107

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym ABCDEF GH połączono punkty będące środkami krawędzi BC , CD , AD i . Wyznacz objętość powstałej bryły wiedząc, że √ -- |DB | = 5 2 i kąt DBH ma miarę 6 0∘ .

Rozwiązanie

Oznaczmy przez długość krawędzi podstawy graniastosłupa, a przez jego wysokość.

Korzystamy ze wzoru na długość przekątnej kwadratu i mamy

√ -- √ -- 5 2 = DB = a 2 ⇒ a = 5.

Z trójkąta prostokątnego DBH obliczamy wysokość graniastosłupa.

DH ---- = tg ∡DBH DB -h--- √ -- √ -- a√ 2-= 3 ⇒ h = 5 6.

Zauważmy teraz, że ostrosłup, którego objętość mamy obliczyć ma wysokość równą , a w podstawie ma trójkąt o podstawie i wysokości opuszczonej na tę podstawę długości a 2 . Objętość tego ostrosłupa jest więc równa