/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 9245275

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD . Pole trójkąta ASC jest równe 120, a cosinus kąta ASB jest równy 141649- . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od rysunku.

PIC

Oznaczmy przez a długość krawędzi bocznej, a przez H wysokość ostrosłupa. Stosując twierdzenie cosinusów w trójkącie ABS możemy obliczyć długość krawędzi podstawy.

AB 2 = AS 2 + BS 2 − 2AS ⋅BS cos ∡ASB 2 2 2 AB = 2AS − 2AS cos ∡ASB ( 144 ) AB 2 = 2a 2 1− ---- 169 2 2 -25- AB = 2a ⋅1 69 √ -- AB = 5--2a. 13

Zamiast stosować twierdzenie cosinusów mogliśmy obliczyć 1 sin 2∡ASB i skorzystać z definicji sinusa w trójkącie FBS . Otrzymalibyśmy w ten sposób tę samą zależność.

W takim razie

√ -- 1-0a AC = AB 2 = 13 ∘ -------(------)-- ∘ ---------- 2 1- 2 2 2-5a2 1-2a H = AS − 2 AC = a − 169 = 13

Teraz korzystamy z podanego pola trójkąta ASC .

1 --⋅AC ⋅H = 120 2 2 1- 10a- 12a- 13-- 2 ⋅ 13 ⋅ 13 = 120 /⋅ 60 2 2 √ -- a = 13 ⋅2 ⇒ a = 13 2.

Stąd

√ -- AB = 5---2a = 10 . 13 12a- √ -- H = 13 = 12 2.

Aby obliczyć pole powierzchni bocznej obliczamy wysokość ściany bocznej – patrzymy na trójkąt prostokątny SEF .

∘ ---------------- ( ) 2 √ --------- √ ---- SF = H 2 + 1AB = 2 88+ 25 = 313 . 2

Pole powierzchni bocznej jest więc równe

1- √ ---- √ ---- Pb = 4 ⋅2 ⋅AB ⋅SF = 2 ⋅10 ⋅ 313 = 20 313.

 
Odpowiedź: √ ---- 20 3 13

Wersja PDF