/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 9426084

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości 2. Punkt P jest środkiem krawędzi BC . Płaszczyzna AHP przecina krawędź CG w punkcie R (zobacz rysunek). Oblicz pole przekroju tego sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez punkty A ,H ,R i P .

PIC

Rozwiązanie

Po pierwsze zauważmy, że odcinki AH i PR są równoległe (jako odcinki wspólne równoległych płaszczyzn ADHE i BCGF oraz płaszczyzny cięcia). Otrzymany czworokąt jest więc trapezem. Jest to w dodatku trapez równoramienny, bo trójkąty ABP i HGR są przystające. Obliczmy długości podstaw i ramion tego trapezu.

-- AH = 2√ 2 √ -- P R = 2 ∘ ------------ √ ------ √ -- AP = HR = AB 2 + BP 2 = 4 + 1 = 5 .

Dorysujmy teraz wysokości trapezu.

PIC

Wysokość trapezu obliczamy z trójkąta prostokątnego AP N .

√ -- AN = HM = AH---−-NM-- = AH--−--PR- = --2- 2 2 2 ∘ ------------ ∘ ----1- ∘ 9- 3 3√ 2- PN = AP 2 − AN 2 = 5 − --= --= √---= -----. 2 2 2 2

Pozostało obliczyć pole trapezu.

√ -- √ -- √ -- P = AH--+-P-R-⋅P N = 2--2-+---2-⋅ 3--2 = 9-. APRH 2 2 2 2

 
Odpowiedź: 9 2

Wersja PDF