/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 9435485

Suma długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 96, a krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt, którego cosinus jest równy √ - --3 9 . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację.

PIC

Oznaczmy przez a długość krawędzi podstawy. Spodek wysokości O ostrosłupa dzieli wysokości trójkąta równobocznego w podstawie w stosunku 2:1, więc

√ -- √ -- 2 a 3 a 3 OC = --⋅----- = -----. 3 2 3

Korzystamy teraz z podanego cosinusa kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

√ -- a√3- OC--= co sα = --3- ⇒ SC = √3--= 3a. SC 9 --3 9

Korzystamy teraz z podanej sumy długości wszystkich krawędzi ostrosłupa.

96 96 = 3AB + 3SC = 3a+ 3⋅3a = 12a ⇒ a = ---= 8. 12

Obliczamy teraz wysokość h ściany bocznej

∘ -------------- ∘ --------- ∘ ----------- (a )2 a2 h = SB 2 − DB 2 = (3a)2 − -- = 9a 2 − ---= ∘ ------ ∘ --- √ --2 4 1 35 35 √ --- = a 9 − 4-= a 4--= 8 ⋅--2--= 4 35 .

Obliczamy pole powierzchni bocznej.

1 √ --- √ --- Pb = 3PABS = 3 ⋅2-⋅AB ⋅h = 3 ⋅4 ⋅4 35 = 4 8 35.

 
Odpowiedź: √ --- 48 3 5

Wersja PDF