Zadanie nr 9534437

Spośród tych graniastosłupów prawidłowych trójkątnych, których suma długości wszystkich krawędzi jest równa 18, wybierz graniastosłup o największej objętości. Oblicz tę maksymalną objętość.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od schematycznego rysunku.

Jeżeli oznaczmy krawędź podstawy graniastosłupa przez , a wysokość przez , to mamy

6a + 3H = 1 8 ⇒ H = 6 − 2a.

Zatem objętość wyraża się wzorem

√ -- √ -- √ -- a2--3- --3-2 --3- 2 3 V = 4 ⋅H = 2 a (3 − a) = 2 (3a − a ).

Pozostało sprawdzić, dla jakiego a ∈ (0 ,3) (bo H > 0 ) funkcja f(a) = 3a 2 − a 3 przyjmuje wartość największą. Liczymy pochodną

f ′(a) = 6a − 3a 2 = 3a(2 − a).

Ponieważ pochodna jest parabolą o ramionach skierowanych w dół, więc funkcja jest rosnąca na przedziale ⟨0,2 ⟩ (bo pochodna jest dodatnia) i malejąca na przedziale ⟨2 ,3) (pochodna jest ujemna). Zatem największą wartość przyjmuje w punkcie a = 2 . Szukana objętość wynosi