Zadanie nr 9694276

Rozpatrujemy wszystkie stożki, w których suma długości tworzącej i promienia podstawy jest równa 2. Wyznacz wysokość tego spośród rozpatrywanych stożków, którego objętość jest największa. Oblicz tę objętość.

Rozwiązanie

Szkicujemy stożek

Jeżeli za parametr przyjmiemy promień podstawy stożka, to mamy

r+ l = 2 ⇒ l = 2 − r

oraz

∘ ------- ∘ ------------- ∘ ---------------- √ ------- √ ----- h = l2 − r2 = (2 − r)2 − r2 = 4− 4r + r2 − r2 = 4 − 4r = 2 1− r.

Objętość stożka jest więc równa

√ ----- ∘ ------- V (r) = 1πr 2 ⋅h = 2πr 2 1− r = 2π r4 − r5. 3 3 3

Wyznaczenie największej wartości objętości sprowadza się więc do wyznaczenia największej wartości funkcji

f(r) = r4 − r5.

Dziedziną tej funkcji jest przedział r ∈ (0,1) (bo musi być h2 = 4(1 − r) > 0 ). Liczymy pochodną

( 4 ) f ′(r) = 4r3 − 5r4 = 5r3 --− r . 5

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale ( 4) 0,5 i ujemna w przedziale (4 ) 5 ,1 . To oznacza, że funkcja rośnie w przedziale ( 4⟩ 0,5 i maleje w przedziale ⟨ ) 4 5,1 . W takim razie największą wartość objętość otrzymamy dla r = 4 5 .