/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria

Zadanie nr 9832647

W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym poprowadzono płaszczyznę p wyznaczoną przez wysokość dolnej podstawy i ten z wierzchołków górnej podstawy, że płaszczyzna p z płaszczyzną podstawy graniastosłupa tworzy kąt ostry α taki, że √-3 cosα = 3 . Pole przekroju graniastosłupa wyznaczonego przez płaszczyznę p jest równe S . Oblicz objętość graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Oznaczmy przez a i H długości krawędzi podstawy i wysokości graniastosłupa. Opisany przekrój jest trójkątem prostokątnym o przyprostokątnych długości a√ 3 --2- i ∘ ------a2 H 2 + -4 . Mamy zatem

√ -- ∘ -------2- 1⋅ a--3-⋅ H 2 + a--= S. 2 2 4

Liczby a i H możemy też ze sobą powiązać w trójkącie prostokątnym ADA ′ , ale zanim to zrobimy obliczmy tgα .

∘ ------ 1 − 3 √6- √ -- tg α = sin-α-= ---√---9 = -3√- = 2. cosα -3- -3- 3 3

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny ′ ADA .

AA ′ H √ -- a√ 2- -----= -a = tg α = 2 ⇒ H = ----. AD 2 2

Mamy więc

√ -- ∘ --2----2- √ -- √ -- 2 S = 1-⋅ a-3-⋅ 2a--+ a--= a--3-⋅ a--3 = 3a-- / ⋅ 8 2 2 4 ∘4 --- 4 2 8 3 8S 2S a2 = --- ⇒ a = 2 ---. 3 3

Możemy teraz obliczyć objętość

a2√ 3- a2√ 3- a√ 2- a3√ 6- V = ------⋅H = ------⋅----- = ------= ( 4 ) 4 2 8 ∘ 2S- 3 √ 6- ∘ 2S- 2S √ -- 4S√S-- = 2 --- ⋅----= --- ⋅---⋅ 6 = ------. 3 8 3 3 3

 
Odpowiedź: √ - 4S--S 3

Wersja PDF