/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Romb

Zadanie nr 2259201

Wysokość DE rombu ABCD dzieli bok AB tego rombu tak, że 3 |AE | : |EB | = 2 (zobacz rysunek).

PIC

Oblicz wartość wyrażenia

( ) ( ) sin4 π-+ α- + sin4 π-+ β- , 8 4 8 4

gdzie α i β są dwoma sąsiednimi kątami wewnętrznymi rombu ABCD .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy oczywiście od rysunku.

PIC

Dane wyrażenie jest trochę skomplikowane, więc spróbujemy je uprościć. Zauważmy najpierw, że α + β = π co oznacza, że

( ) ( ) π- + α- + π-+ β- = π-+ π- = π-, 8 4 8 4 4 4 2

czyli suma kątów występujących w danym wyrażeniu jest równa π- 2 . To oczywiście znacznie upraszcza sytuację:

( ) π β (π ( π α) ) (π α ) sin --+ -- = sin -- − --+ -- = cos -- + -- . 8 4 2 8 4 8 4

To nas zbliża do jedynki trygonometrycznej:

( π α) ( π β) (π α ) ( π α) sin4 --+ -- + sin 4 --+ -- = sin4 -- + -- + cos4 --+ -- = 8 4 8 4 8 4 8 4 ( 2 (π- α-) 2( π- α) )2 2(π- α-) 2( π- α) = sin 8 + 4 + cos 8 + 4 − 2 sin 8 + 4 cos 8 + 4 = 1 ( ( π α) ( π α ))2 1 (π α ) = 1− -- 2 sin --+ -- cos --+ -- = 1− -sin2 -- + -- . 2 8 4 8 4 2 4 2

W ostatniej linijce skorzystaliśmy ze wzoru na sin 2x

sin 2x = 2 sinx cos x.

Interesujące nas wyrażenie możemy jeszcze bardziej uprościć jeżeli skorzystamy ze wzoru na cos 2x

cos2x = 1 − 2sin2 x ⇒ sin2 x = 1-−-co-s2x . 2

Mamy zatem

( ) 1 − cos (π-+ α ) 1 − 1-sin 2 π-+ α- = 1− 1-⋅---------2------ = 2 4 2 2 2 1- 3- 1- = 1− 4 (1+ sin α) = 4 − 4 sin α.

Teraz sprawa jest już bardzo prosta – patrzymy na rysunek i widzimy, że

AE-- 3a- 3- co sα = AD = 5a = 5 ∘ ----(--)-- ∘ -------2-- 3- 2 4- sin α = 1− cos α = 1 − 5 = 5.

Mamy zatem

(π α ) ( π β ) 3 1 sin4 -- + -- + sin4 -- + -- = --− --sinα = 8 4 8 4 4 4 3- 1- 4- 3- 1- 1-1 = 4 − 4 ⋅5 = 4 − 5 = 2 0.

 
Odpowiedź: 11 20

Wersja PDF