/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2025/Matura próbna/CKE, OKE, CEN

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (CKE)
poziom podstawowy 6 grudnia 2024 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczby x1 i x 2 są różnymi rozwiązaniami równania |x + 4| = 7 . Suma x1 + x2 jest równa
A) (− 14) B) (− 8) C) 3 D) 8

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba ( 5√ -- )− 5 5⋅ 15 jest równa
A) 54 B) 5− 4 C) 50,25 D) − 0,25 5

Zadanie 3
(2 pkt)

Wykaż, że liczba 2100 + 449 + 1624 jest podzielna przez 21.

Zadanie 4
(1 pkt)

Dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej y wartość wyrażenia log x + 6 log y 7 7 jest równa wartości wyrażenia
A) ( ) log 7 xy6 B) log 7(xy)6 C) log 7(6xy ) D) 6 log7(xy )

Zadanie 5
(1 pkt)

Pani Aniela wpłaciła do banku kwotę 60 000 zł na lokatę dwuletnią. Po każdym rocznym okresie oszczędzania bank doliczał odsetki w wysokości p% w skali roku od kwoty bieżącego kapitału znajdującego się na lokacie – zgodnie z procentem składanym. Na koniec okresu oszczędzania kwota na tej lokacie była równa 67 925,76 zł wraz z odsetkami (bez uwzględniania podatków). Oprocentowanie lokaty w skali roku było równe
A) 6% B) 6,4% C) 6,5% D) 7%

Zadanie 6
(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej x różnej od (− 1) , 0 oraz 1 wartość wyrażenia --x- 3x2- x2−1 : x+1 jest równa wartości wyrażenia
A) xx−-1 B) 3x21−3x C) − 3x D) 1- − 3x

Zadanie 7
(1 pkt)

Para liczb x = − 1 i y = 6 jest rozwiązaniem układu równań

{ ax + 3y = 20 x + by = 5,

gdzie a oraz b są liczbami rzeczywistymi. Wartość wyrażenia a ⋅b jest równa
A) (− 2) B) (− 0,5) C) 0,5 D) 2

Zadanie 8
(3 pkt)

Rozwiąż równanie x+-3 --x-- x− 1 = 2x− 2 .

Zadanie 9
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność x (x − 6) ≤ 7 .

Zadanie 10
(4 pkt)

Funkcja f jest określona następująco

(| { 3 dla x ∈ (− 4,− 2] f(x) = −x + 1 dla x ∈ (− 2,2] |( x− 3 dla x ∈ (2,4]

Wykres funkcji y = f(x) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) na rysunku poniżej.

ZINFO-FIGURE

  • Wyznacz dziedzinę funkcji f .

  • Wyznacz zbiór wartości funkcji f .

  • Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje wartości ujemne.

  • Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja f przyjmuje największą wartość.

Zadanie 11
(1 pkt)

Miejscem zerowym funkcji liniowej f jest liczba 2, a punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy kartezjańskiego układu współrzędnych (x,y ) ma współrzędne (0,4) (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Współczynnik kierunkowy prostej, która jest wykresem funkcji f , jest równy (− 2) . PF
Pole trójkąta ograniczonego osiami kartezjańskiego układu współrzędnych (x,y) oraz wykresem funkcji f jest równe 8. PF

Informacja do zadań 12.1 – 12.3

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt (3,0) . Ta parabola przechodzi przez punkt o współrzędnych (0,− 9) .

Zadanie 12.1
(1 pkt)

Funkcja f jest malejąca w przedziale
A) (− ∞ ,0] B) (− ∞ ,3] C) [0,+ ∞ ) D) [3,+ ∞ )

Zadanie 12.2
(2 pkt)

Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych. Wzór funkcji f może być zapisany w postaci
A) 2 f(x ) = −x − 9 B) 2 f(x ) = − (x− 3) C) f(x) = − (x + 3)2

D) f (x) = −x 2 + 6x − 9 E) f (x) = −x 2 − 6x + 9 F) f (x) = −x 2 − 6x − 9

Zadanie 12.3
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x ) = f(x) − 1 .
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Funkcja g ma jedno miejsce zerowe. PF
W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu x = 3 . PF

Zadanie 13
(1 pkt)

Funkcja logarytmiczna f jest określona wzorem f(x) = log6 x dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Wartość funkcji f dla argumentu 36 jest równa 6.PF
Funkcja f jest rosnąca. PF

Zadanie 14
(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem an = 3 ⋅(− 1)n + 10 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Ciąg (a ) n jest geometryczny. PF
Suma ośmiu początkowych kolejnych wyrazów ciągu (an) jest równa 80.PF

Zadanie 15
(1 pkt)

Trzywyrazowy ciąg (5m ,4 + 2m ,m ) jest arytmetyczny, gdy liczba m jest równa
A) (− 4) B) (− 1) C) 1 D) 4

Zadanie 16
(1 pkt)

Dany jest ciąg geometryczny (an) określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , w którym 1 a2 = 6 oraz 1 a3 = 9 . Piąty wyraz ciągu (an) jest równy
A) -1 15 B) 2- 27 C) -4 81 D) -8- 243

Informacja do zadań 17.1 i 17.2

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym √ --- |AC | = 1 5 i |BC | = 8 . Na przyprostokątnej AB leży taki punkt D , że |BD | = 6 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE
Zadanie 17.1
(1 pkt)

Sinus kąta ostrego ABC jest równy
A) 1 2 B) 7 8 C) √ -- --15 4 D) √ -- -815

Zadanie 17.2
(1 pkt)

Tangens kąta ostrego ADC jest równy
A) √ --- 15 B) 12 C) 78 D) √-15 8

Zadanie 18
(1 pkt)

Kąt o mierze α jest rozwarty oraz √3 sin α = 4-- . Cosinus kąta o mierze α jest równy
A) ( √ --) − --13- 4 B) ( ) − 1 2 C) 12 D) √ -- -413

Zadanie 19
(4 pkt)

W trapezie prostokątnym ABCD dłuższa podstawa AB ma długość 7,5. Krótsza przekątna AC ma długość równą 6 i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz pole trapezu ABCD .

Zadanie 20
(1 pkt)

Dany jest okrąg o środku w punkcie S i promieniu 6. Miara kąta wpisanego ACB jest równa ∘ 60 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Długość łuku AB , na którym oparty jest kąt wpisany ACB , jest równa
A) 2π B) 4π C) 6π D) 12π

Zadanie 21
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkty A = (− 2,− 1) oraz C = (3,4) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD . Długość boku kwadratu ABCD jest równa
A) 5 B) 10 C) √ -- 5 2 D) √ --- 10

Zadanie 22
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta k o równaniu y = − 7x + 3 . Prosta l jest równoległa do prostej k i przecina oś Oy w punkcie (0,6) . Punkt o współrzędnych (1,p) należy do prostej l . Liczba p jest równa
A) (− 4) B) (− 1) C) 5 7 D) 7

Zadanie 23
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są cztery okręgi: o1, o2, o3, o4 , o równaniach:

2 2 o1 : (x− 1) + (y− 2) = 1 o2 : (x+ 1)2 + (y+ 2)2 = 9 2 2 o3 : (x− 3) + (y− 4) = 4 o : (x+ 3)2 + (y+ 4)2 = 16. 4

Okręgiem, który nie ma żadnego punktu wspólnego z osiami układu współrzędnych (x ,y) , jest
A) o1 B) o2 C) o3 D) o4

Zadanie 24
(1 pkt)

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości 4. Ściana boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim kątem α , że tg α = 3 . Wysokość tego ostrosłupa jest równa
A) 3 B) 6 C) √ -- 6 2 D) 12

Zadanie 25
(1 pkt)

Długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka prostopadłościanu są trzema kolejnymi parzystymi liczbami naturalnymi. Najdłuższa krawędź tego prostopadłościanu ma długość p . Objętość tego prostopadłościanu jest równa
A) 3 2 p − 3p + 2p B) 3 2 p + 3p + 2p
C) p3 − 6p 2 − 8p D) p 3 − 6p2 + 8p

Zadanie 26
(2 pkt)

Objętość stożka o wysokości 2 jest równa 8 π . Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka.

Zadanie 27
(1 pkt)

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych nieparzystych, w których zapisie dziesiętnym występują wyłącznie cyfry 0, 1, 2, 3 (np. 12 303, 11 111), jest
A) 32 B) 384 C) 512 D) 576

Zadanie 28
(2 pkt)

Dane są dwa zbiory: C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} oraz D = {7, 8, 9 , 10} . Losujemy jedną liczbę ze zbioru C , a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru D . Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że wylosujemy liczby, których iloczyn będzie podzielny przez 4.

Zadanie 29
(2 pkt)

Do szkolnego koła czytelniczego należy 50 uczniów. Opiekun koła zebrał dane dotyczące liczby książek przeczytanych przez tych uczniów w listopadzie 2024 roku. W poniższej tabeli przedstawiono wyniki zebrane przez opiekuna.

Liczba przeczytanych książek 45 6 7 8
Liczba uczniów, którzy przeczytali daną liczbę książek 58121312

  • Oblicz średnią arytmetyczną liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów.

  • Oblicz medianę liczby przeczytanych książek w tej grupie uczniów.

Zadanie 30
(4 pkt)

Rozważamy wszystkie prostopadłościany ABCDEF GH , w których krawędź AE jest 3 razy dłuższa od krawędzi AB , a suma długości wszystkich dwunastu krawędzi prostopadłościanu jest równa 48 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Niech P(x ) oznacza funkcję pola powierzchni całkowitej takiego prostopadłościanu w zależności od długości x krawędzi AB .

  • Wyznacz wzór i dziedzinę funkcji P .

  • Oblicz długość x krawędzi AB tego z rozważanych prostopadłościanów, którego pole powierzchni całkowitej jest największe.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania