/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2025/Matura próbna/CKE, OKE, CEN

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (CKE)
poziom rozszerzony 12 grudnia 2024 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(2 pkt)

Ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze można opisać zależnością

Q (t) = Q ⋅β −t dla t ≥ 0, 0

gdzie:

  • Q 0 – ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili początkowej (t = 0 ) wyrażony w milikulombach

  • Q – ładunek elektryczny zgromadzony w kondensatorze w chwili t (licząc od chwili początkowej) wyrażony w milikulombach

  • β – stała dodatnia

  • t – czas wyrażony w sekundach.

Wiadomo, że w chwili t = 4 s w kondensatorze był zgromadzony ładunek 2 milikulombów, a w chwili t = 6 s – ładunek 18 milikulombów. Oblicz, ile milikulombów ładunku było zgromadzone w tym kondensatorze w chwili t = 5 s .

Zadanie 2
(2 pkt)

Okrąg o jest styczny do boków AC i BC trójkąta ABC oraz przecina bok AB tego trójkąta w punktach M oraz N , przy czym 0 < |AM | < |AN | < |AB | . Wykaż, że jeśli |AM | = |BN | , to trójkąt ABC jest równoramienny.

Zadanie 3
(3 pkt)

Iloczyn długości średnicy podstawy walca i wysokości walca jest równy √ -- 12 3 . Pole powierzchni całkowitej tego walca jest równe √ -- 12 π( 3 + 1) . Oblicz objętość tego walca.

Zadanie 4
(3 pkt)

Wykaż, że

----1------+ -------1---------+ ---------1---------= 1. lo g235 + 1 lo g7140 − log 72 log 57+ lo g52 + 1

Zadanie 5
(3 pkt)

W pewnej lokalnej społeczności 35% osób ma wyższe wykształcenie. W tej społeczności językiem niemieckim dobrze włada 70% osób mających wyższe wykształcenie i 40% osób bez wyższego wykształcenia. Spośród członków tej społeczności wybieramy losowo jedną osobę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wybierzemy osobę z wyższym wykształceniem, jeżeli wiadomo, że ta osoba dobrze włada językiem niemieckim. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części setnych.

Zadanie 6
(4 pkt)

Rozwiąż równanie

|4x − 8|+ |x − 2| = |2− x|+ |x + 2 |+ 4

Zadanie 7
(4 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) dane są: okrąg o równaniu (x + 1)2 + (y− 3)2 = 50 i punkty A = (6,4) oraz B = (− 6,8) . Punkt C leży na tym okręgu i |AC | = |BC | . Oblicz współrzędne punktu C . Rozważ wszystkie przypadki.

Zadanie 8
(4 pkt)

Oblicz granicę 1+3+ 5+ 7+⋅⋅⋅+(2n+1) lim --------(n)-------- n→+ ∞ 2 .

Zadanie 9
(4 pkt)

Rozwiąż równanie

sin 4x = sin x ⋅cosx − co s4x

w zbiorze [− π,2 π] .

Zadanie 10
(5 pkt)

Trzeci i piąty wyraz malejącego ciągu arytmetycznego (an) , określonego dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , spełniają warunek a3 + a5 = 10 . Trzywyrazowy ciąg ( ) 2a + 4,a − 1,− 1a 1 4 8 7 jest geometryczny. Oblicz wyrazy tego ciągu geometrycznego.

Zadanie 11
(5 pkt)

Funkcja kwadratowa f zmiennej rzeczywistej x jest określona wzorem

f (x) = x2 − 3x − m 2 + m + 3

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe x1, x2 spełniające warunek 2 2 |x1 − x2| ≤ 12 .

Zadanie 12
(5 pkt)

W trójkącie ostrokątnym ABC miara kąta BAC jest dwa razy większa od miary kąta ABC . Punkt D jest środkiem boku AB . Niech α oznacza miarę kąta ABC , natomiast β – miarę kąta ADC (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz tgβ sin2α- .

Zadanie 13
(6 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem 12x−84 f(x ) = x− 8 dla każdego x ∈ (− ∞ ,8) . W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) rozważamy wszystkie czworokąty OBCD , w których:

  • wierzchołek O ma współrzędne (0,0) ;

  • wierzchołki B oraz D są punktami przecięcia wykresu funkcji f z osią – odpowiednio – Ox i Oy ;

  • wierzchołek C ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji f .

ZINFO-FIGURE

  • Wykaż, że pole P czworokąta OBCD w zależności od pierwszej współrzędnej x punktu C jest określone wzorem

    21- x2-−-56- P(x) = 4 ⋅ x − 8 .

  • Oblicz współrzędne wierzchołka C , dla których pole czworokąta OBCD jest największe.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania