Zadanie nr 2115258
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![|x2 + 2x − 3| = m](https://img.zadania.info/zad/2115258/HzadT1x.png)
ma cztery różne rozwiązania, których iloczyn jest mniejszy od 5.
Rozwiązanie
Jeżeli , to równanie jest oczywiście sprzeczne. Jeżeli natomiast
, to równanie jest równoważne dwóm równaniom kwadratowym
![x 2 + 2x − 3 = −m lub x2 + 2x− 3 = m 2 2 x + 2x − 3+ m = 0 lub x + 2x− 3− m = 0.](https://img.zadania.info/zad/2115258/HzadR2x.png)
Musimy teraz sprawdzić, kiedy te dwa równania mają cztery różne rozwiązania.
Sposób I
Szkicujemy wykres funkcji
![|| || y = |x2 + 2x− 3| = |(x+ 1)2 − 4|.](https://img.zadania.info/zad/2115258/HzadR3x.png)
Aby narysować ten wykres – zaczynamy od paraboli , potem przesuwamy ją o wektor
i na koniec odbijamy część poniżej osi
do góry.
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zad/2115258/HzadR7x.png)
Z wykresu widać, że równanie ma 4 różne rozwiązania dla
![m ∈ (0 ,4).](https://img.zadania.info/zad/2115258/HzadR8x.png)
Przy tym założeniu, możemy zastosować wzory Viète’a dla każdego z równań. Jeżeli są pierwiastkami pierwszego, a
pierwiastkami drugiego równania, to mamy
![x x = − 3+ m 1 2 x3x4 = − 3− m .](https://img.zadania.info/zad/2115258/HzadR11x.png)
Stąd
![x1x2x 3x 4 = (− 3+ m )(− 3 − m ) = − (m − 3)(m + 3) = − (m 2 − 9).](https://img.zadania.info/zad/2115258/HzadR12x.png)
Pozostało rozwiązać nierówność
![2 5 > x1x2x3x4 = −(m − 9) / ⋅ (− 1 ) − 5 < m2 − 9 0 < m2 − 4 = (m − 2)(m + 2) m ∈ (− ∞ ,− 2) ∪ (2,+ ∞ ).](https://img.zadania.info/zad/2115258/HzadR13x.png)
W połączeniu z wcześniej otrzymanym warunkiem , mamy stąd
![m ∈ (2 ,4).](https://img.zadania.info/zad/2115258/HzadR15x.png)
Sposób II
Sprawdźmy najpierw kiedy pierwsze równanie ma dwa różne rozwiązania – liczymy –ę.
![0 < Δ = 4 − 4(− 3 + m ) = 16 − 4m / : 4 m < 4.](https://img.zadania.info/zad/2115258/HzadR17x.png)
Założyliśmy ponadto, że , więc mamy stąd
.
Tak samo sprawdzamy, kiedy drugie równanie ma dwa różne rozwiązania
![0 < Δ = 4 − 4(− 3 − m ) = 16 + 4m / : 4 − 4 < m .](https://img.zadania.info/zad/2115258/HzadR20x.png)
To oznacza, ze przy naszym założeniu , drugie równanie ma zawsze dwa rozwiązania.
W tym miejscu łatwo popełnić błąd – z tego, że każde z równań ma dwa różne rozwiązania nie musi wynikać, w sumie mamy cztery rozwiązania: może się zdarzyć, równania mają wspólne rozwiązanie. Sprawdźmy kiedy tak może być
![2 2 x + 2x − 3+ m = x + 2x− 3− m 2m = 0.](https://img.zadania.info/zad/2115258/HzadR22x.png)
Jak widać tak może być tylko dla . I faktycznie wtedy tak jest, bo dla
mamy dwa razy to samo równanie
![x2 + 2x − 3 = 0 .](https://img.zadania.info/zad/2115258/HzadR25x.png)
Musimy więc usunąć ze zbioru rozwiązań.
Nierówność
![5 > x x x x 1 2 3 4](https://img.zadania.info/zad/2115258/HzadR27x.png)
rozwiązujemy tak samo jak w poprzednim sposobie.
Odpowiedź: