/Szkoła średnia/Równania/Z wartością bezwględną/Kwadratowe/Z parametrem

Zadanie nr 5537661

Funkcja g jest określona wzorem  || 1 2 || g(x ) = |− 4x + 3x − 5| dla każdego x ∈ R . Fragment wykresu funkcji g w kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) przedstawiono na rysunku (jednostki pominięto).


PIC


Wyznacz zbiór wszystkich wartości parametru m , dla których równanie g (x ) = |m| ma dokładnie dwa rozwiązania dodatnie.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Z załączonego wykresu widać, że równanie g(x ) = 0 ma dwa rozwiązania dodatnie (rozwiązaniami są wtedy miejsca zerowe funkcji g ). Jeżeli natomiast k ⁄= 0 , to równanie g(x) = k ma dwa rozwiązania dodatnie jeżeli prosta y = k jest powyżej maksimum lokalnego g(xw ) funkcji g (xw – pierwsza współrzędna paraboli znajdującej się pod wartością bezwzględną) i jednocześnie poniżej punktu wspólnego g(0) wykresu y = g (x) i osi Oy .


PIC


Liczymy

 xw = − b--= −-3-= 6 2a − 12 || || g(xw ) = g(6) = |− 1-⋅36 + 3 ⋅6 − 5| = 4 | 4 | g(0 ) = |− 5| = 5.

Musi więc być spełniony warunek

m = 0 lub 4 < |m | < 5 m ∈ (−5 ,−4 )∪ {0 }∪ (4,5 ).

 
Odpowiedź: m ∈ (− 5,− 4)∪ { 0} ∪ (4,5)

Wersja PDF
spinner