Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 9331862

Zbadaj liczbę rozwiązań równania  2 2 |x − 4| = m + 3 w zależności od parametru m .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Najłatwiej jest myśleć, że z prawej strony mamy pewien parametr  2 k = m + 3 , który spełnia k ≥ 3 . Lewą stronę łatwo narysować – jest to parabola  2 y = x przesunięta o 4 jednostki w dół (mamy x2 − 4 ) i część poniżej osi Ox jest odbita do góry (mamy |x2 − 4| ).


PIC

Gdy narysujemy ten wykres, staje się jasne, że ilość rozwiązań równania |x2 − 4| = k wyraża się wzorem (pamiętamy, że k ≥ 3 !)

( | 4 jeżeli 3 ≤ k < 4 { | 3 jeżeli k = 4 ( 2 jeżeli k > 4.

Wracjąc do parametru m daje nam to

( | 4 jeżeli m ∈ (−1 ,1) { | 3 jeżeli m ∈ {− 1,1} ( 2 jeżeli m ∈ (−∞ ,− 1) ∪ (1,+ ∞ ).

Sposób II

Tym razem rozważmy dwa przypadki.

Jeżeli  2 x ≥ 4 to mamy równanie

 2 2 2 2 x − 4 = m + 3 ⇒ x = m + 7.

Widać, że to równanie ma zawsze dwa rozwiązania, ale interesuje nas kiedy spełniają one warunek  2 x ≥ 4 . Sprawdzamy

 2 2 m + 7 ≥ 4 ⇒ m ⇒ − 3.

Nierówność ta jest zawsze spełniona, czyli zawsze mamy dwa pierwiastki spełniające x2 ≥ 4 .

Teraz zajmijmy się przypadkiem x2 < 4 . Mamy wtedy równanie

 2 2 2 2 4− x = m + 3 ⇒ x = 1 − m .

Sprawdźmy, że rozwiązania tego równania (jeżeli są) spełniają nierówność  2 x < 4 :

 2 2 1 − m < 4 ⇒ − 3 < m .

Pozostało zatem ustalić ile jest tych rozwiązań. To jest jednak jasne:

( |{ 2 jeżeli m ∈ (−1 ,1) 1 jeżeli m ∈ {− 1,1} |( 0 jeżeli m ∈ (−∞ ,− 1) ∪ (1,+ ∞ ).

Dokładając dwa rozwiązania spełniające x 2 > 4 daje to nam tę samą odpowiedź, co poprzednio.  
Odpowiedź: Liczba rozwiązań: ( |{ 4 jeżeli m ∈ (− 1,1) 3 jeżeli m ∈ {− 1,1} |( 2 jeżeli m ∈ (− ∞ ,−1 )∪ (1,+ ∞ ).

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!