Zadanie nr 1553387
Funkcja jest określona wzorem
![√ -- √ --- log√2x 4-⋅log3---8⋅log-0,5--27- 2 f(x) = 4 + 3 ⋅x − 9 0x](https://img.zadania.info/zad/1553387/HzadT1x.png)
dla każdej liczby dodatniej .
-
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej
wzór funkcji
można równoważnie przekształcić do postaci
.
-
Oblicz najmniejszą wartość funkcji
określonej dla każdej liczby dodatniej
.
Rozwiązanie
-
Zauważmy, że
Zatem faktycznie
-
Liczymy pochodną funkcji
Łatwo sprawdzić, że jednym z pierwiastków wyrażenia w nawiasie jest
. Dzielimy więc ten wielomian przez
.
Mamy zatem
i trójmian w nawiasie nie ma już pierwiastków, bo
. Widzimy więc, że pochodna jest dodatnia dla
i ujemna dla
. W takim razie funkcja
rośnie w przedziale
i maleje w przedziale
. W takim razie najmniejsza wartość funkcji
to
Na koniec wykres dla ciekawskich wykres funkcji
.
Odpowiedź: