/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Przebieg zmienności/Zbiór wartości

Zadanie nr 1553387

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Funkcja f jest określona wzorem

√ -- √ --- log√2x 4-⋅log3---8⋅log-0,5--27- 2 f(x) = 4 + 3 ⋅x − 9 0x

dla każdej liczby dodatniej x .

  • Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x wzór funkcji f można równoważnie przekształcić do postaci f(x ) = x4 − 3x2 − 90x .

  • Oblicz najmniejszą wartość funkcji f określonej dla każdej liczby dodatniej x .

Rozwiązanie

  • Zauważmy, że

    ( ) log√-x ( √ --4) log√2x √ -log√2x 4 4 4 2 = ( 2) = 2 = x √ -- √ --- √ -- √ --- 4 ⋅lo g3 8 ⋅log0,5 27 4 log 8 log 2 7 4 log 232 log 332 -----------------------= --⋅---2----⋅ ---2----- = --⋅ ---2---⋅----2-−-1 = 3 3 log2 3 log 20,5 3 log2 3 log 22 4 3 3log 23 = --⋅--2---⋅ 2-------= −3 . 3 log2 3 − 1

    Zatem faktycznie

    f (x) = x4 − 3x 2 − 90x .

  • Liczymy pochodną funkcji f

    f′(x) = 4x3 − 6x − 9 0 = 2(2x3 − 3x − 4 5).

    Łatwo sprawdzić, że jednym z pierwiastków wyrażenia w nawiasie jest x = 3 . Dzielimy więc ten wielomian przez (x − 3) .

    ( ) ( ) 2x3 − 3x − 45 = 2x3 − 6x 2 + 6x 2 − 1 8x + (15x − 4 5) = = 2x2(x − 3) + 6x(x − 3 )+ 15 (x− 3) = (x − 3)(2x 2 + 6x + 1 5)

    Mamy zatem

    f′(x) = 2(x − 3 )(2x 2 + 6x+ 15)

    i trójmian w nawiasie nie ma już pierwiastków, bo Δ < 0 . Widzimy więc, że pochodna jest dodatnia dla x > 3 i ujemna dla x < 3 . W takim razie funkcja f rośnie w przedziale [3,+ ∞ ) i maleje w przedziale (− ∞ ,3] . W takim razie najmniejsza wartość funkcji f to

    f(3) = 8 1− 2 7− 270 = − 216 .

    Na koniec wykres dla ciekawskich wykres funkcji y = f(x )+ 2 16 .

    ZINFO-FIGURE

     
    Odpowiedź: fmin = f(3) = −2 16

Wersja PDF