Zadanie nr 4068160
Wyznacz zbiór wartości funkcji .
Rozwiązanie
Kluczowa w tym zadaniu jest obserwacja, że podana funkcja to złożenie dwóch funkcji kwadratowych. Jeżeli podstawimy , to
jest zwykłą funkcją kwadratową.
Sposób I
Aby wyznaczyć zbiór wartości tej funkcji musimy najpierw ustalić jak zmienia się . W tym celu musimy wyznaczyć zbiór wartości funkcji
. Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę. Druga współrzędna jej wierzchołka (a więc najmniejsza wartość funkcji) to

Zatem . Zbadajmy teraz jakie wartości przyjmuje funkcja
na tym przedziale. Jej wierzchołek ma współrzędne

Ponieważ pierwsza współrzędna wierzchołka znajduje się w przedziale , to zbiorem wartości funkcji
jest zbiór
– rysunek.

Sposób II
Tym razem zapiszmy funkcję w postaci kanonicznej.

Zauważmy teraz, że

Zatem może być dowolną liczbą z przedziału
, czyli zbiorem wartości funkcji
jest przedział
.
Odpowiedź: