/Szkoła średnia/Funkcje/Wielomiany/Przebieg zmienności/Zbiór wartości

Zadanie nr 9737289

Funkcja f jest określona wzorem

√ --- log3x 2⋅log-2--27-⋅log32- 2 f(x ) = 81 + 3 ⋅x − 6x

dla każdej liczby dodatniej x .

  • Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x wzór funkcji f można równoważnie przekształcić do postaci f(x ) = x4 + x2 − 6x .

  • Oblicz najmniejszą wartość funkcji f określonej dla każdej liczby dodatniej x .

Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Zauważmy, że

    ( ) ( ) log3x 4 log3x log3x 4 4 8 1 = 3 = 3 = x 2 √ --- (√ ---)2 log 2 --⋅log2 27⋅ log 32 = log 2 2 7 3 ⋅log32 = lo g23 ⋅---2-- = 1. 3 log2 3

    Zatem faktycznie

    f(x) = x 4 + x 2 − 6x .

  • Liczymy pochodną funkcji f

    f ′(x ) = 4x3 + 2x − 6 = 2 (2x3 + x− 3).

    Widać gołym okiem, że jednym z pierwiastków wyrażenia w nawiasie jest x = 1 . Dzieli więc ten wielomian przez (x − 1) .

    3 ( 3 2) ( 2 ) 2x + x − 3 = 2x − 2x + 2x − 2x + (3x − 3 ) = 2 2 = 2x (x − 1) + 2x (x− 1)+ 3(x− 1) = (x − 1)(2x + 2x + 3)

    Mamy zatem

    f ′(x ) = 2(x − 1)(2x2 + 2x + 3 )

    i trójmian w nawiasie nie ma już pierwiastków, bo Δ < 0 . Widzimy więc, że pochodna jest dodatnia dla x > 1 i ujemna dla x < 1 . W takim razie funkcja f rośnie w przedziale [1,+ ∞ ) i maleje w przedziale (− ∞ ,1] . W takim razie najmniejsza wartość funkcji f to

    f (1) = 1+ 1− 6 = − 4.

    Na koniec wykres dla ciekawskich.

    ZINFO-FIGURE

     
    Odpowiedź: fmin = f(1) = − 4

Wersja PDF