/Szkoła średnia/Funkcje/Kwadratowa/Różne

Zadanie nr 2151885

Wielomiany f(x ) i g(x) spełniają warunki 2 f(x) = 2x − x+ 5 i f (g(x)) = 2x 2 + 5x + 8 . Wyznacz wzór wielomianu g(x ) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Skoro po wstawieniu g(x ) do wielomianu f (x) w miejsce x nadal mamy wielomian stopnia 2, wielomian g(x ) musi być stopnia 1, czyli szukamy wielomianu postaci g(x) = ax + b . Mamy zatem równanie

f(ax + b) = 2x2 + 5x + 8 2 2 2(ax + b) − (ax + b) + 5 = 2x + 5x+ 8 2a2x2 + 4abx + 2b2 − ax− b = 2x2 + 5x + 3.

Dwa wielomiany są równe jeżeli mają równe współczynniki, więc

( | 2a2 = 2 { | 4ab − a = 5 ( 2b2 − b = 3.

Z pierwszego równania mamy a = − 1 lub a = 1 . Jeżeli a = −1 to z drugiego mamy

− 4b+ 1 = 5 ⇒ b = −1 .

Jeżeli natomiast a = 1 to

3 4b − 1 = 5 ⇒ b = -. 2

Łatwo sprawdzić, że w obu przypadkach spełnione jest trzecie równanie.  
Odpowiedź: g(x ) = −x − 1 lub 3 g (x) = x + 2

Wersja PDF