Funkcja kwadratowa f(x)=ax^2+bx+c, spełnia warunekf(8)=f(-2).... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 9492318

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Funkcje/Kwadratowa/Różne

Zadanie nr 9492318

Funkcja kwadratowa $2 f(x ) = ax + bx + c$ , spełnia warunek $f(8) = f (− 2)$ . Wykaż, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ , spełniony jest warunek $f (3− x ) = f(3 + x)$ .

Rozwiązanie

Sposób I

Rozszyfrujmy najpierw warunek $f(8) = f (−2 )$ .

6 4a+ 8b+ c = 4a − 2b + c 6 0a+ 10b = 0 ⇒ b = − 6a.

W takim razie $f(x) = ax 2 − 6ax + c$ i

f(3− x) = a(3 − x )2 − 6a (3 − x )+ c = a(9− 6x + x2)− 18a + 6ax + c 2 = ax − 9a + c f(3+ x) = a(3 + x )2 − 6a (3 + x )+ c = a(9+ 6x + x2)− 18a − 6ax + c 2 = ax − 9a + c.

Zatem rzeczywiście $f(3− x) = f (3+ x )$ .

Sposób II

Warunek $f(8) = f (− 2 )$ oznacza, że osią symetrii paraboli będącej wykresem funkcji $f$ jest prosta $x = 8−2-2= 3$ .

Teraz wystarczy zauważyć, że punkty tego wykresu o pierwszych współrzędnych równych $3 − x$ i $3 + x$ odpowiednio też są położone symetrycznie względem prostej $x = 3$ , bo