/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Styczność/Dwa okręgi styczne

Zadanie nr 1236852

Wspólne styczne dwóch okręgów stycznych zewnętrznie przecinają się pod kątem 60∘ . Wyznacz stosunek długości promieni tych okręgów.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Niech O 1,O 2 będą środkami okręgów, B,C rzutami punktów O 1,O 2 na jedno z ramion kąta, a D rzutem punktu O1 na prostą O 2C . Punkty O 1 i O 2 leżą na dwusiecznej kąta A zatem

∡DO O = ∡CAO = 30∘. 1 2 2

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny O DO 1 2 .

∘ O-2D-- sin 30 = O O 1 2 1-= R-2 −-R1 2 R 1 + R2 R 1 + R2 = 2R 2 − 2R 1 ⇒ 3R1 = R2.

 
Odpowiedź: 3:1

Wersja PDF