Dwa okręgi o promieniach r i R (r<R) są styczne zewnętrznie.... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Dwa okręgi styczne, 3697665

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Styczność/Dwa okręgi styczne

Zadanie nr 3697665

Dwa okręgi o promieniach $r$ i $R$ ( $r < R$ ) są styczne zewnętrznie. Prosta $k$ nie przechodzi przez punkt wspólny tych okręgów i jest styczna do każdego z nich. Znajdź promień okręgu stycznego zewnętrznie do danych okręgów i stycznego do prostej $k$ . Rozważ dwa przypadki.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.

Na razie nie przejmujmy się drugim przypadkiem (zresztą nie bardzo widać jak miałby wyglądać). Oznaczmy szukaną długość promienia przez $x$ . Wyliczymy długość odcinka $AB$ na dwa sposoby, co pozwoli nam uzyskać zależność między $x,r$ i $R$ . Z jednej strony

-------------------- ∘ 2 2 √ ---- √ --- AB = (r + R ) − (R − r) = 4Rr = 2 Rr .

Z drugiej strony

∘ ------------------- ∘ -------------------- --- √ --- AB = AC + CB = (r+ x)2 − (r− x )2+ (R + x)2 − (R − x)2 = 2√ rx+ 2 Rx .

Mamy stąd

√ --- √ --- √ --- Rr = rx + Rx √ --- √ --√ - √ -- Rr = x( r+ R) √ -- √Rr-- x = √-----√--- r + R Rr x = ----------√----. r + R + 2 Rr

Pora teraz zastanowić się jak wygląda drugi przypadek. Aby to sobie wyobrazić popatrzmy jeszcze raz na poprzedni rysunek, ale wyobraźmy sobie, że tym razem dane są okręgi o promieniach $x$ i $R$ . Innymi słowy, oprócz okręgu ’pomiędzy’ danymi okręgami jest jeszcze jeden, który jest ’na zewnątrz’.