Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 3697665

Dwa okręgi o promieniach r i R (r < R ) są styczne zewnętrznie. Prosta k nie przechodzi przez punkt wspólny tych okręgów i jest styczna do każdego z nich. Znajdź promień okręgu stycznego zewnętrznie do danych okręgów i stycznego do prostej k . Rozważ dwa przypadki.

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od rysunku.


PIC


Na razie nie przejmujmy się drugim przypadkiem (zresztą nie bardzo widać jak miałby wyglądać). Oznaczmy szukaną długość promienia przez x . Wyliczymy długość odcinka AB na dwa sposoby, co pozwoli nam uzyskać zależność między x,r i R . Z jednej strony

 -------------------- ∘ 2 2 √ ---- √ --- AB = (r + R ) − (R − r) = 4Rr = 2 Rr .

Z drugiej strony

 ∘ ------------------- ∘ -------------------- --- √ --- AB = AC + CB = (r+ x)2 − (r− x )2+ (R + x)2 − (R − x)2 = 2√ rx+ 2 Rx .

Mamy stąd

√ --- √ --- √ --- Rr = rx + Rx √ --- √ --√ - √ -- Rr = x( r+ R) √ -- √Rr-- x = √-----√--- r + R Rr x = ----------√----. r + R + 2 Rr

Pora teraz zastanowić się jak wygląda drugi przypadek. Aby to sobie wyobrazić popatrzmy jeszcze raz na poprzedni rysunek, ale wyobraźmy sobie, że tym razem dane są okręgi o promieniach x i R . Innymi słowy, oprócz okręgu ’pomiędzy’ danymi okręgami jest jeszcze jeden, który jest ’na zewnątrz’.


PIC


Rachunkowo mamy dokładnie tę samą sytuację, ale musimy zamienić rolami x i r . Mamy zatem

√ --- √ --- √ --- Rx = rx + Rr √ --√ -- √ - √ --- x( R − -r) = Rr √ -- √ Rr x = √------√-- R − r Rr x = ----------√----. r + R − 2 Rr

 
Odpowiedź:  Rr r+R-+2√Rr- lub  Rr r+R-−2√Rr--

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!