/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Styczność/Dwa okręgi styczne

Zadanie nr 5459159

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R , styczne wewnętrznie w punkcie B . Prosta AP jest styczna do mniejszego okręgu w punkcie C oraz |∡PAB | = α i |∡BRC | = β (zobacz rysunek). Wykaż, że β = 2 70∘ − 2α .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że trójkąt AP B jest równoramienny (bo PA = PB ). Zatem

∡P BA = ∡PAB = α ∡AP B = 180∘ − ∡PAB − ∡P BA = 180∘ − 2α.

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny PCR .

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ 180 − 2 α = ∡CP R = 90 − ∡P RC = 9 0 − (1 80 − β) = β − 9 0 270 ∘ − 2 α = β.

Sposób II

Jak poprzednio zauważamy, że trójkąt PAB jest równoramienny oraz ∘ ∡ACR = 90 (kąt między styczną a promieniem poprowadzonym do punktu styczności). Korzystamy teraz z tego, że suma kątów w czworokącie ABRC jest równa 36 0∘ .

36 0∘ = α + α + β + 90 ∘ ∘ 27 0 − 2α = β .
Wersja PDF