Zadanie nr 5459159
Dane są dwa okręgi o środkach w punktach i
, styczne wewnętrznie w punkcie
. Prosta
jest styczna do mniejszego okręgu w punkcie
oraz
i
(zobacz rysunek). Wykaż, że
.
Rozwiązanie
Sposób I
Zauważmy, że trójkąt jest równoramienny (bo
). Zatem
![∡P BA = ∡PAB = α ∡AP B = 180∘ − ∡PAB − ∡P BA = 180∘ − 2α.](https://img.zadania.info/zad/5459159/HzadR2x.gif)
Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny .
![∘ ∘ ∘ ∘ ∘ 180 − 2 α = ∡CP R = 90 − ∡P RC = 9 0 − (1 80 − β) = β − 9 0 270 ∘ − 2 α = β.](https://img.zadania.info/zad/5459159/HzadR4x.gif)
Sposób II
Jak poprzednio zauważamy, że trójkąt jest równoramienny oraz
(kąt między styczną a promieniem poprowadzonym do punktu styczności). Korzystamy teraz z tego, że suma kątów w czworokącie
jest równa
.
![36 0∘ = α + α + β + 90 ∘ ∘ 27 0 − 2α = β .](https://img.zadania.info/zad/5459159/HzadR9x.gif)