Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R, styczne wewnętrznie... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Dwa okręgi styczne, 5459159

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Styczność/Dwa okręgi styczne

Zadanie nr 5459159

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach $P$ i $R$ , styczne wewnętrznie w punkcie $B$ . Prosta $AP$ jest styczna do mniejszego okręgu w punkcie $C$ oraz $|∡PAB | = α$ i $|∡BRC | = β$ (zobacz rysunek). Wykaż, że $β = 2 70∘ − 2α$ .

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że trójkąt $AP B$ jest równoramienny (bo $PA = PB$ ). Zatem

∡P BA = ∡PAB = α ∡AP B = 180∘ − ∡PAB − ∡P BA = 180∘ − 2α.

Patrzymy teraz na trójkąt prostokątny $PCR$ .

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ 180 − 2 α = ∡CP R = 90 − ∡P RC = 9 0 − (1 80 − β) = β − 9 0 270 ∘ − 2 α = β.

Sposób II

Jak poprzednio zauważamy, że trójkąt $PAB$ jest równoramienny oraz $∘ ∡ACR = 90$ (kąt między styczną a promieniem poprowadzonym do punktu styczności). Korzystamy teraz z tego, że suma kątów w czworokącie $ABRC$ jest równa $36 0∘$ .