/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Okrąg i koło/Styczność/Dwa okręgi styczne

Zadanie nr 7173225

Dane są dwa okręgi o środkach w punktach P i R , styczne zewnętrznie w punkcie C . Prosta AB jest styczna do obu okręgów odpowiednio w punktach A i B oraz |∡AP C | = α i |∡ABC | = β (zobacz rysunek). Wykaż, że α = 180∘ − 2β .

PIC

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Zauważmy, że promienie PA i RB są prostopadłe do stycznej AB , więc dwa kąty czworokąta ABRP są proste. Suma kątów każdego czworokąta jest równa 36 0∘ (bo można go podzielić na dwa trójkąty), więc

90 ∘ + 9 0∘ + α+ ∡BRC = 36 0∘ ⇒ ∡BRC = 1 80∘ − α.

Trójkąt BRC jest równoramienny, więc

∘ ∘ ∘ ∡CBR = 180-−--∡BRC---= 180--−-(180--−-α-)= α-. 2 2 2

Mamy zatem

∘ α ∘ 9 0 = ∡ABR = β + -- ⇒ 2β + α = 180 . 2

Sposób II

Trójkąt BRC jest równoramienny, więc

∡BCP = 180∘ − ∡BCR = 180∘ − ∡CBR = 180∘ − (90∘ − β) = 90∘ + β.

Korzystamy teraz z tego, że suma kątów w czworokącie ABCP jest równa 36 0∘ .

∘ ∘ ∘ 36 0 = 90 + β + 90 + β + α 18 0∘ = 2β + α.
Wersja PDF