Zadanie nr 9319888
Dane są 2 koła styczne zewnętrznie o promieniach i
(
) oraz środkach
i
. Do tych kół poprowadzono wspólną styczną, która jest styczna do tych okręgów w punktach
i
odpowiednio (
). Oblicz pole trójkąta
, gdzie
jest punktem przecięcia się prostych
i
.
Rozwiązanie
Dorysujmy do podanego rysunku promienie okręgów oraz rzut punktu
na prostą
.
Obliczymy najpierw pole trójkąta (duży trójkąt jest do niego podobny w znanej skali, więc to nam wystarczy). Znamy jedną przyprostokątną oraz przeciwprostokątną tego trójkąta, możemy więc obliczyć drugą przyprostokątną.
![∘ ------------- ∘ -------------------- 2 2 2 2 √ ---- √ --- DO 2 = O 1O2 − DO 1 = (R + r) − (R − r) = 4Rr = 2 Rr .](https://img.zadania.info/zad/9319888/HzadR5x.gif)
Mamy zatem
![1 √ --- √ --- PO1O2D = -(R − r)2 Rr = (R − r) Rr . 2](https://img.zadania.info/zad/9319888/HzadR6x.gif)
Trójkąt jest podobny do trójkąta
w skali
, zatem mamy
![R 2 √ --- R2√Rr-- PO 1S1A = ---------⋅(R − r) Rr = -------. (R − r)2 R − r](https://img.zadania.info/zad/9319888/HzadR10x.gif)
Odpowiedź: