Zadanie nr 9080793
Dla jakich wartości parametru funkcja
![{ f(x) = (m − 1 )x+ m dla x < 1 x2 + (m − 2 )x+ 4− 2m dla x ≥ 1](https://img.zadania.info/zad/9080793/HzadT1x.gif)
przyjmuje tylko dodatnie wartości?
Rozwiązanie
Funkcja jest sklejona z dwóch funkcji, musimy zatem sprawdzić dla każdej z nich z osobna.
- Sprawdzamy kiedy
jest dodatnie (przy założeniu
). Wykres tej funkcji to prosta, jeżeli ma być ponad osią dla
, to współczynnik kierunkowy musi być niedodatni oraz musi być
. Daje to układ nierówności
Otrzymujemy stąd
.
- Teraz sprawdzamy kiedy
jest powyżej osi. Aby to sprawdzić musimy wiedzieć, gdzie ta funkcja osiąga wartośc najmniejszą. Możliwości są dwie: albo w wierzchołku paraboli (jeżeli jest on w przedziale
) albo w punkcie 1 (jeżeli wierzchołek paraboli jest poza przedziałem
). Sprawdzmy zatem, kiedy
.
Ale z poprzedniego podpunktu wiemy ,że
, co oznacza, że wierzchołek paraboli jest zawsze poza przedziałem
i funkcja
swoją najmniejszą wartość przyjmuje w punkcie 1. Pozostało zatem rozwiązać nierówność
.
co nie wnosi nic nowego do wcześniej uzyskanego warunku
.
Dla ciekawskich, wykres funkcji dla przykładowej wartości .
Odpowiedź:
![PIC](https://img.zadania.info/zad/9080793/HzadR19x.gif)