Ciągi

Deﬁnicje Ciąg to po prostu ponumerowany zbiór elementów, np.

a1 = 1, a 2 = 4, a3 = 9, a4 = 1 6,...

W powyższym przykładzie a1 = 1 jest pierwszym elementem ciągu, a = 4 2 drugim itd. Jeżeli nie chcemy przy każdym wyrazie pisać a , a 1 2 itd. możemy użyć zapisu

(1,4,9,16,...).

W takim zapisie domyślnie 1 jest pierwszym elementem ciągu, 4 drugim, 9 trzecim itd.

Jeżeli chcemy się odwołać do ciągu, ale bez precyzowania ile są równe jego elementy, na ogół piszemy (an) lub {an } .

Ciąg jest skończony, jeżeli ma tylko skończenie wiele elementów, albo nieskończony w przeciwnym wypadku. Jeżeli chcemy zaznaczyć w notacji (an) , że ciąg ma skończenie wiele wyrazów to piszemy (an)m n= 1 . Zapis ten czytamy: ciąg a n , gdzie zmienia się od 1 do . Zapis ten należy rozumieć jako skrót zapisu

(a1,a 2,...,am ).

Jeżeli chcemy zaznaczyć, że ciąg jest nieskończony to piszemy (an)+n=∞1 i czytamy: ciąg , gdzie zmienia się od 1 do nieskończoności. Jest skrót zapisu

(a1,a2,a3,...).

Jeżeli wprowadzimy na płaszczyźnie układ współrzędnych, to o każdym punkcie płaszczyzny możemy myśleć jak o dwuelementowym ciągu (x,y ) jego współrzędnych.
Podobnie, punkty przestrzeni możemy traktować jako trójelementowe ciągi ich współrzędnych: (x,y,z) .

Formalnie ciąg deﬁniuje się jako dowolną funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych , w przypadku ciągu nieskończonego, oraz zbiór {1,2,...,m } , w przypadku ciągu skończonego o wyrazach. Powinno być jasne, że jest to tylko ’mądry’ zapis naszego powyższego opisu. Jeżeli traktujemy ciąg jako funkcję, to jest skrótowym zapisem wartości funkcji a (n ) . Różne sposoby określania ciągu Podobnie jak funkcje, ciągi można deﬁniować na wiele róznych sposobów.

1. Wypisując wyrazy ciągu.

Wypiszmy kilka ciągów skończonych.

(1,1,1,1) (− 1,3; 40 0,6; − 2 12,1217) ( π √ -- ) --,− 2 ,210 . 3

W drugim z powyższych przykładów celowo użyliśmy średnika do rozdzielenia kolejnych wyrazów ciągu, żeby uniknąć pomyłki z przecinkiem rozdzielającym miejsca dzisiętne.

Oczywiście nie da się wypisać wszystkich wyrazów ciągu nieskończonego, ale często używa się zapisów typu

(1,1,1,...) (1,− 1,1,− 1,...) (1,4,9,16,...) (3,6,9,12,...).

W takich sytuacjach oczekuje się, że czytelnik jest wystarczająco spostrzegawczy, żeby domyślić się jaki nieskończony ciąg mamy na myśli. W pierwszym przykładzie mamy na myśli ciąg, którego wszystkie wyrazy są równe 1; w drugim ciąg, w którym na przemian są 1 i -1; w trzecim ciąg kolejnych kwadratów liczb naturalnych; w czwartym ciąg kolejnych liczb naturalnych podzielnych przez 3.

2. Opisem słownym.
Często podajemy pewną własność, która w pełni wyznacza ciąg.

Ciąg dwucyfrowych kwadratów liczb naturalnych to ciąg

(1 6,25,36,49,6 4,81).

Ciąg kolejnych dodatnich liczb całkowitych parzystych to ciąg

(2,4,6,8 ,...).

Wyznaczmy wzór ciągu (an) kolejnych liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 7 dają resztę 3.
Oczywiście chodzi o ciąg

(3,10,17,2 4,31,...).

Wzór tego ciągu to

a = 7 (n− 1)+ 3 = 7n − 4. n

Zauważmy, że nie jest to ciąg a = 7n+ 3 n (bo a 1 ma być równe 3, a nie 10).

3. Wzorem.

Obliczmy kilka początkowych wyrazów ciągu an = (− 1)n−1(n+21) sin nπ2- .
Liczymy

( 2) π a1 = (− 1)0 sin --= 1 ⋅1⋅1 = 1 ( ) 2 2 1 3 a2 = (− 1) 2 sinπ = (− 1) ⋅3⋅0 = 0 ( ) a = (− 1)2 4 sin 3π-= 1 ⋅ 4-⋅3 ⋅(− 1) = − 6 3 2 2 2 ( ) a4 = (− 1)3 5 sin2π = (− 1) ⋅ 5-⋅4 ⋅0 = 0. 2 2

i tak dalej.

4. Rekurencyjnie.
Tej metodzie poświęcimy cały następny rozdział. Ciągi zdeﬁniowane rekurencyjnie Rekurencyjna deﬁnicja ciągu zawsze składa się z dwóch elementów:

wartości pierwszego (lub kilku pierwszych) wyrazów ciągu;
reguły, która jednoznacznie opisuje w jaki sposób powstają kolejne wyrazy ciągu.

Regułę, o której mowa w drugim punkcie zwykle nazywa się zależnością rekurencyjną deﬁniującą ciąg. Na ogół jest to przepis (wzór) pozwalający wyliczyć -ty wyraz ciągu, jeżeli znamy już wyrazy o numerach mniejszych od .

Spróbujmy wyznaczyć wzór ciągu określonego przez warunki a = 5 1 oraz a = a + 2 n+1 n , dla n ≥ 1 .
Z podanej zależności rekurencyjnej wyliczamy kolejne wyrazy ciągu (podstawiamy kolejno n = 1,2,3,... ).

a2 = a1 + 2 = 5+ 2 a3 = a2 + 2 = (5 + 2 )+ 2 = 5+ 2⋅2 a4 = a3 + 2 = (5 + 2 ⋅2) + 2 = 5 + 2 ⋅3 a5 = a4 + 2 = (5 + 2 ⋅3) + 2 = 5 + 2 ⋅4.

Powinniśmy się już domyślić ile będzie równy -ty wyraz ciągu: an = 5+ 2(n− 1) .
Zauważmy, że na razie jedynie zgadliśmy wzór na . Jeżeli chcemy uzasadnić poprawność tej obserwacji (żeby mieć pewność, że się nie pomyliliśmy), musimy skorzystać z indukcji. Sprawdzamy, że dla n = 1 nasz wzór daje prawidłową wartość a = 5+ 2⋅0 = 5 1 , oraz że spełniony jest krok indukcyjny

an+1 = an + 2 = 5+ 2 (n− 1)+ 2 = 5 + 2n

(założyliśmy wyżej, że an = 5+ 2(n − 1) i korzystając z podanej rekurencji uzasadniliśmy, że an+1 = 5+ 2n ).

Wyznaczmy wzór ciągu określonego przez warunki a = 1 1 oraz

an = 1 + a1 + a2 + ⋅⋅⋅+ an −1, dla n > 1.

Liczymy kolejne wyrazy ciągu (an)

a2 = 1 + a1 = 2 a3 = 1 + a1 + a2 = 1 + 1 + 2 = 4 a4 = 1 + a1 + a2 + a3 = 1 + 1 + 2 + 4 = 8 a5 = 1 + a1 + a2 + a3 + a4 = 1 + 1 + 2+ 4+ 8 = 16.

Widać już co jest grane? Zgadujemy, że an = 2n− 1 i uzasadniamy to indukcyjnie. Dla n = 1 mamy 0 a1 = 2 = 1 . Zanim wykonamy krok indukcyjny, uprośćmy trochę podaną rekurencję:

an = (1 + a1 + a2 + ⋅⋅⋅+ an−2)+ an−1 = an−1 + an−1 = 2an −1

(skorzystaliśmy dwa razy z rekurencji, raz dla i raz dla an−1 ). Teraz łatwo wykonać krok indukcyjny

an+ 1 = 2an = 2 ⋅2n− 1 = 2n.

Ciągi jako funkcje Mówiliśmy już, że ciągi deﬁniuje się jako funkcje o bardzo specjalnej dziedzinie: {1,2 ,...,m} lub . W takim razie ciągi dziedziczą od funkcji wiele różnych cech, np. jest sens mówić o wykresie ciągu. Wykres ciągu zawsze będzie składał się pojedynczych punktów zaznaczonych nad kolejnymi liczbami naturalnymi. Punktów będzie skończenie wiele, gdy ciąg jest skończony oraz nieskończenie wiele, gdy ciąg jest nieskończony.

Naszkicujmy wykres ciągu 1 2 an = 4n − 4 .
Szkicujemy.

Kolejna własność analogiczna jak dla funkcji to monotoniczność. Mówimy, że ciąg (an) jest rosnący jeżeli dla każdego n ≥ 1 spełniona jest nierówność

an+ 1 > an

(każdy kolejny wyraz jest większy od poprzedniego). Jeżeli nierówność jest słaba, czyli

an+ 1 ≥ an

to mówimy, że ciąg (an) jest niemalejący (wyrazy nie maleją).

Analogicznie mówimy, że ciąg (an) jest malejący (nierosnący) jeżeli

an+1 < an (an+1 ≤ an ).

Zwyczajowo przez ciąg monotoniczny rozumie się ciąg rosnący lub malejący. Jeżeli jednak chcemy też dopuścić ciągi niemalejące i nierosnące to zwykle używa się terminu ciąg słabo monotoniczny (co wskazuje na to, że nierówność może być słaba).

Zbadajmy monotoniczność ciągu an = 2n2+3- .
Liczymy różnicę an+1 − an kolejnych wyrazów ciągu. Jeżeli wyjdzie dodatnia to będzie znaczyło, że ciąg jest rosnący, a jeżeli wyjdzie ujemna, że jest malejący.

a − a = ------2------− --2----= 2⋅ 2n-+-3−--(2n+--5) = ------−-4--------< 0. n+1 n 2 (n+ 1)+ 3 2n + 3 (2n + 5)(2n + 3) (2n+ 5)(2n + 3)

Zatem ciąg jest malejący.

Zbadajmy monotoniczność ciągu an = n2 − 10n .
Jak poprzednio, liczmy różnicę

a − a = (n + 1)2 − 10(n + 1)− n2 + 10n = 2n − 9. n+1 n

No i mamy kłopot, bo nie jesteśmy w stanie ustalić jaki jest znak otrzymanego wyrażania (zależy on od ). W takim razie ciąg nie jest monotoniczny. Zauważmy jednak, że jeżeli n ≥ 5 to 2n − 9 > 0 i ciąg zaczyna być rosnący. W takiej sytuacji często pisze się, że ciąg jest rosnący począwszy od 5 wyrazu. Tego typu odpowiedź jest oczywiście o wiele treściwsza niż krótkie ciąg nie jest monotoniczny.

Gdy pomyślimy sobie o wykresie ciągu n an = (− 1) to powinno być jasne, że ciąg ten nie będzie monotoniczny, niezależnie od tego jak duże jest .

ZINFO-FIGURE

W takiej sytuacji, na pytanie o monotoniczność nie ma mądrzejszej odpowiedzi niż ciąg nie jest monotoniczny.

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Studia/Analiza/Ciągi/Granice/Wymierne