/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 27 marca 2010 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(4 pkt)

Wewnątrz prostokąta ABCD o wymiarach |AB | = 8 i |AD | = 6 wybrano dwa punkty i takie, że MN ∥ AB oraz |AM | = |DM | = |NB | = |NC | . Przy jakiej odległości punktów i suma kwadratów długości odcinków AM ,DM ,MN ,NB ,NC jest najmniejsza?

Zadanie 2

(4 pkt)

Rozwiązaniem nierówności lo gp(x + 1) ≤ 32x + 1516- z niewiadomą jest zbiór ⟨− 45,+ ∞ ) . Wyznacz .

Zadanie 3

(5 pkt)

Różnica między pierwszym a siódmym wyrazem ciągu geometrycznego jest równa 63, a różnica między wyrazem pierwszym a czwartym jest równa 72. Oblicz sumę pierwszych 7 wyrazów tego ciągu.

Zadanie 4

(5 pkt)

W urnie znajduje się losów, przy czym z nich to losy wygrywające ( M ≤ N ). Wybieramy losowo losów z urny ( n ≤ N ) i niech oznacza prawdopodobieństwo, że dokładnie spośród tych losów to losy wygrywające ( m ≤ M oraz m ≤ n ). Uzasadnij, że

n N −n p = (m-)⋅(M-−m-). (N ) M

Zadanie 5

(6 pkt)

Na wysokości trójkąta ABC wybrano punkt taki, że |P D | = |P E| , gdzie i są rzutami tego punktu odpowiednio na boki i . Wiedząc, że √ -- tg ∡ABC = 2 2 oblicz iloraz |BE| |EC| .

Zadanie 6

(4 pkt)

Wyznacz równanie okręgu, który jest obrazem okręgu (x + 4 )2 + (y − 7)2 = 27 w jednokładności o środku S = (− 1 ,4 ) i skali .

Zadanie 7

(4 pkt)

Wykaż, że jeżeli liczby całkowite x,y,z spełniają równanie x 2 + y2 + z2 = 2 010 to co najwyżej jedna z liczb x,y,z dzieli się przez 4.

Zadanie 8

(4 pkt)

Sprzedawca zegarków kupił w hurtowni za 5746 złotych dwa rodzaje zegarków: damskie i męskie, przy czym kupił trzy razy więcej zegarków damskich niż męskich. Przy ponownym zakupie takiej samej ilości zegarków, otrzymał 10% rabatu na cenę zakupu zegarka damskiego oraz 10 zł upustu na cenę zakupu zegarka męskiego. Dzięki otrzymanym rabatom, łączny koszt zakupu zmalał do 5265 zł. Wiedząc, że po udzieleniu rabatu, cena męskiego zegarka była dwa razy wyższa od ceny zegarka damskiego, oblicz pierwotne ceny zegarków.

Zadanie 9

(5 pkt)

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym poprowadzono płaszczyznę, która przechodzi przez dłuższą przekątną dolnej podstawy oraz przez jedną z krawędzi górnej podstawy. Płaszczyzna ta wyznacza przekrój graniastosłupa, który jest trapezem równoramiennym. Wiedząc, że w trapez ten można wpisać okrąg o promieniu 1, oblicz objętość graniastosłupa.

Zadanie 10

(3 pkt)

Rozwiąż równanie ( ) ( ) 3 − 4 sin 2x = 4 sin π3-+ x sin π3 − x .