/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 5 maja 2010 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność |2x + 4|+ |x− 1| ≤ 6 .

Zadanie 2
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie rozwiązania równania 2 cos2 x− 5sinx − 4 = 0 należące do przedziału ⟨0,2π ⟩ .

Zadanie 3
(4 pkt)

Bok kwadratu ABCD ma długość 1. Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, by |CE | = 2|DF | . Oblicz wartość x = |DF | , dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze.

Zadanie 4
(4 pkt)

Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu W (x) = x 3 + ax 2 + bx+ 1 wiedząc, że W (2) = 7 oraz, że reszta z dzielenia W (x ) przez (x− 3) jest równa 10.

Zadanie 5
(5 pkt)

O liczbach a,b,c wiemy, że ciąg (a,b,c) jest arytmetyczny i a + c = 10 , zaś ciąg (a + 1,b + 4,c + 19) jest geometryczny. Wyznacz te liczby.

Zadanie 6
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie 2 x + mx + 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od 2m 2 − 13 .

Zadanie 7
(6 pkt)

Punkt A = (− 2,5 ) jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego ABC , w którym |AC | = |BC | . Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu y = x + 1 . Oblicz współrzędne wierzchołka C .

Zadanie 8
(5 pkt)

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji f(x) = 1- x2 .

PIC

Przeprowadzono prostą równoległą do osi Ox , która przecięła wykres tej funkcji w punktach A i B . Niech C = (3,− 1) . Wykaż, że pole trójkąta ABC jest większe lub równe 2.

Zadanie 9
(4 pkt)

Na bokach BC i CD równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH (zobacz rysunek).

PIC

Udowodnij, że |AC | = |FG | .

Zadanie 10
(4 pkt)

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez 3.

Zadanie 11
(5 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a . Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi. Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest równa 2α . Wyznacz objętość tego ostrosłupa.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania