/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom podstawowy 27 marca 2010 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Pierwiastek równania 4x − 1 5 = 0,625 − x zaokrąglono do wartości 3,2. Błąd względny tego przybliżenia to
A) 2,4% B) 2,5% C) 7,5% D) 5%

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba ------------- ------------- ------------- ∘4 √ -- √ --4 4∘ √ -- √ --4 3∘ √ -- √ --3 ( 3− 2) + ( 2− 5) + ( 3 − 5) jest równa
A) √ -- √ -- 2 3 − 2 2 B) √ -- √ -- 2 5− 2 2 C) √ -- √ -- 2 3 − 2 5 D) √ -- √ -- 2 5 − 2 3

Zadanie 3
(1 pkt)

Iloczyn dwóch liczb dodatnich, z których jedna jest o 13 większa od drugiej jest równy 300. Suma tych liczb jest równa
A) 38 B) 13 C) 25 D) 37

Zadanie 4
(1 pkt)

Jeżeli 4 3 4 a = 42 , b = 34 , c = 23 to
A) a < b < c B) b < a < c C) a < c < b D) b < c < a

Zadanie 5
(1 pkt)

Punkt P jest punktem wspólnym wykresów funkcji 5 3 f(x ) = x + 2x + 3x i 5 3 2 g(x ) = x + x − x − 3 . Zatem suma współrzędnych punktu P
A) jest liczbą większą od 3
B) jest liczbą z przedziału (0,3 )
C) jest liczbą naturalną
D) jest liczbą mniejszą od -3

Zadanie 6
(1 pkt)

Jeżeli sinα = 0,1 + cos α to liczba sinα cos α jest równa
A) 0,5 B) 0,495 C) 0,99 D) 0,45

Zadanie 7
(1 pkt)

Jeżeli √ -- √ -- a = 2log( 3 + 2) + 2 lo g(4− 2 3) to 10 0a jest liczbą
A) ujemną B) nieparzystą C) niewymierną D) parzystą

Zadanie 8
(1 pkt)

Wykresy funkcji f (x) = 3x2 − 18x + 2 7 i g(x) = 3x 2 + 6x + 3 są symetryczne względem prostej
A) y = 0 B) x = 1 C) x = 0 D) x = − 1

Zadanie 9
(1 pkt)

Dwa kolejne wyrazy ciągu geometrycznego (an) są równe 3 i 18. Wyrazem tego ciągu może być liczba
A) 27 B) 54 C) 1 2 D) 16

Zadanie 10
(1 pkt)

Jeżeli α i β są miarami kątów ostrych trójkąta prostokątnego oraz 2 cos2 α+ 2sin β = 1 to
A) √ -- tg α = 2 B) √ - tgα = --2 2 C) √ -- tg α = 3 D) √ 3 tg α = -3-

Zadanie 11
(1 pkt)

Która z podanych prostych jest symetryczna do prostej 2x + 3y = 5 względem osi Oy ?
A) 2x − 3y + 5 = 0 B) 2x − 3y − 5 = 0 C) 2x + 3y + 5 = 0 D) 3y − 2x + 5 = 0

Zadanie 12
(1 pkt)

Jeżeli ciąg (a ) n dany jest wzorem an = 3n − 1 dla n ≥ 1 , to suma 10 początkowych wyrazów ciągu an bn = a1 wyraża się wzorem
A) 47(8 10 − 1) B) 47(210 − 1 ) C) 4(89 − 1) 7 D) 4(229 − 1) 7

Zadanie 13
(1 pkt)

Stopień wielomianu 4 4 (x + 1) − (x − 1) jest równy
A) 4 B) 3 C) 2 D) 1

Zadanie 14
(1 pkt)

Kąty wewnętrzne przy wierzchołkach B i D trapezu ABCD są równe odpowiednio ∘ 70 i ∘ 1 20 . Wówczas przedłużenia ramion AD i BC przecinają się pod kątem
A) 30∘ B) 4 0∘ C) 50∘ D) 60∘

Zadanie 15
(1 pkt)

Losujemy jeden wierzchołek i jedną ścianę sześcianu. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowany wierzchołek jest wierzchołkiem wylosowanej ściany jest równe
A) -5 12 B) 5- 24 C) 1 4 D) 12

Zadanie 16
(1 pkt)

Każdą krawędź graniastosłupa prostego o podstawie będącej sześciokątem skrócono dwukrotnie. W wyniku tej zmiany pole powierzchni graniastosłupa zmniejszyło się o
A) 25% B) 50% C) 75% D) 100%

Zadanie 17
(1 pkt)

Która z liczb nie może być równa polu rombu o obwodzie 12?
A) √ - 9-23 B) √- 925- C) 2π D) -1- 100

Zadanie 18
(1 pkt)

Rozwiązaniem nierówności − (4 − 2x)(2 − 4x ) ≤ 0 jest zbiór
A) ⟨− 2,− 1⟩ 2 B) (− ∞ ,− 2⟩ ∪ ⟨− 1,+ ∞ ) 2 C) 1 (− ∞ ,2⟩∪ ⟨2,+ ∞ ) D) 1 ⟨2,2⟩

Zadanie 19
(1 pkt)

Wykresy funkcji y = 3+ (m + 1)x i 1 y = (1− m )x− 3 są prostopadłe. Zatem m
A) jest liczbą niewymierną
B) jest liczbą ujemną
C) jest liczbą naturalną
D) jest liczbą wymierną

Zadanie 20
(1 pkt)

Pole sześciokąta foremnego o boku długości 6 jest równe
A) 27 √ 3- B) 54 √ 3- C) √ -- 18 3 D) √ -- 4 8 3

Zadania otwarte

Zadanie 21
(2 pkt)

Naszkicuj wykres funkcji

( |{ 3x + 2 dla x < − 1 f (x ) = 2x 2 − 3 dla − 1 ≤ x < 2 |( x + 3 dla x ≥ 2.

Odczytaj z wykresu maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f .

PIC

Zadanie 22
(2 pkt)

Podaj przykład dwóch liczb naturalnych m i n , które spełniają nierówność 112 m- 113 114 < n < 115 .

Zadanie 23
(2 pkt)

Wyznacz współrzędne punktu P , który dzieli odcinek o końcach A = (29 ,−1 5) i B = (45 ,13) w stosunku |AP | : |P B| = 1 : 3 .

Zadanie 24
(2 pkt)

Stężenie pewnego roztworu wodnego soli wynosi 5%. Ile kilogramów czystej wody należy dodać do 90 kg tego roztworu, aby otrzymać roztwór o stężeniu 2%?

Zadanie 25
(2 pkt)

W prostopadłościanie poprowadzono z jednego wierzchołka przekątne ścian bocznych, obie o długości 4. Wiedząc, że kąt między tymi przekątnymi ma miarę 60∘ , oblicz pole powierzchni tego prostopadłościanu.

Zadanie 26
(2 pkt)

Wyznacz punkty wspólne okręgu (x − 4)2 + (y + 3)2 = 4 oraz prostej y = −x − 1 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a,b spełniona jest nierówność

∘ -4----4- ∘ -2----2- 4 a-+--b- ≥ a-+--b-. 2 2

Zadanie 28
(2 pkt)

Posługując się wzorem tgα−tgβ tg (α− β) = 1+-tg-αtg-β oblicz tg 15∘ .

Zadanie 29
(4 pkt)

Prosta równoległa do jednego boku trójkąta dzieli jego pole na połowy. W jakim stosunku prosta ta dzieli pozostałe boki trójkąta?

Zadanie 30
(5 pkt)

Udowodnij, że jeżeli O jest środkiem okręgu, na którym leżą punkty A,B ,C , to β = 90∘ + α .

PIC

Zadanie 31
(5 pkt)

Sprzedawca kupuje miesięcznie w hurtowni laptopy, płacąc 1200 zł za sztukę. W chwili obecnej sprzedaje 20 laptopów miesięcznie w cenie 1400 zł za sztukę, oraz oszacował, że każda kolejna obniżka ceny o 10 zł zwiększa o 2 liczbę sprzedanych laptopów. Jaką powinien ustalić cenę laptopa, aby jego zysk był największy? Ile jest równy ten maksymalny miesięczny zysk?

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania