/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 20 marca 2010 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1

(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie ||1 √ -|| |7x-− 3| − m = 0 ma dwa pierwiastki, których iloczyn jest ujemny.

Zadanie 2

(4 pkt)

Rozwiąż układ równań { 5|y |+ 3x = 3y+ 3 |4y + 9x | = 6y.

Zadanie 3

(5 pkt)

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości |AC | = b,|BC | = a , a wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego ma długość .

Wykaż, że jeżeli b2 = a ⋅h to √- cos ∡BAC = -5−2-1 .

Zadanie 4

(5 pkt)

Z miejscowości i , które są odległe o 58,5 km wyruszyły jednocześnie ku sobie dwa samochody. Pierwszy samochód w ciągu pierwszej minuty jechał ze średnią prędkością 30 km/h, a w ciągu każdej następnej minuty pokonywał drogę o 0,25 km dłuższą, niż w ciągu poprzedniej minuty. Drugi samochód przez pierwsze 6 minut przejechał 21 kilometrów, a potem jechał ze stałą prędkością 150 km/h. Oblicz po ilu minutach nastąpi spotkanie samochodów.

Zadanie 5

(4 pkt)

Ciąg (bn) jest nieskończonym ciągiem liczb dodatnich, a ciąg (an) spełnia warunek

an+ 1 − an = lo g2bn − log b101−n, dla n = 1,2,...,100.

Oblicz a101 − a1 .

Zadanie 6

(4 pkt)

Ze zbioru {1,2 ,... ,1 0} losujemy dwie różne liczby i . Oblicz prawdopodobieństwo, że

( ) ( ) 2n > k ⋅ n . 2 1

Zadanie 7

(5 pkt)

Okrąg o środku jest wpisany w trójkąt ABC , gdzie A = (− 3,5) . Wiedząc, że okrąg ten jest styczny do boków i odpowiednio w punktach K = (0,− 1) i L = (3 ,2) oblicz długość odcinka .

Zadanie 8

(5 pkt)

Wyznacz wartość parametru , dla którego równanie

x 3 + (m − 2)x2 + (6 − 2m )x − 12 = 0

ma trzy pierwiastki x 1,x2,x3 spełniające warunki x3 = −x 1 oraz x2 = x1 − 1 .

Zadanie 9

(4 pkt)

Trapez prostokątny ABCD o podstawach i jest opisany na okręgu o promieniu .

Wykaż, że .
Wiedząc, że pole trapezu jest równe 4 wykaż, że .

Zadanie 10

(6 pkt)

Na płaskiej powierzchni położono trzy kule K 1,K 2,K3 , każda o promieniu 2 tak, że kule K 1 i są styczne w punkcie P 3 , kule K 2 i K 3 są styczne w punkcie P 1 , a kule i K 1 są styczne w punkcie P 2 . Następnie położono na tych kulach kulę K 4 o promieniu 3, która jest styczna do kul K1,K 2,K3 odpowiednio w punktach S 1,S 2,S3 .