/Szkoła średnia/Kombinatoryka

Zadanie nr 8807234

Oblicz, ile jest wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie występują dokładnie trzy cyfry nieparzyste.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli pierwszą cyfrą utworzonej liczby jest liczba parzysta, to możemy ją wybrać na 4 sposoby. Wśród pozostałych cyfr mają być trzy cyfry nieparzyste – ich miejsce możemy wybrać na

( ) 5 = 5⋅-4⋅3-= 10 3 3!

sposobów. Gdy już to ustalimy, każdą z pozostałych 5 cyfr (pierwszą mamy już wybraną) możemy wybrać na 5 sposobów. W sumie jest więc

5 5 4⋅1 0⋅5 = 40⋅ 5 .

takich liczb.

Jeżeli natomiast pierwsza cyfra jest nieparzysta, to możemy ją wybrać na 5 sposobów. Potem musimy jeszcze ustalić, gdzie mają być kolejne dwie cyfry nieparzyste – możemy to zrobić na

( ) 5 5-⋅4 2 = 2 = 1 0

sposobów. Gdy już to ustalimy, każdą z pozostałych 5 cyfr możemy wybrać na 5 sposobów. W sumie jest więc

5⋅1 0⋅5 5 = 50⋅ 55.

takich liczb.

Wszystkich liczb spełniających warunki zadania jest więc

40 ⋅55 + 50⋅ 55 = 90 ⋅55 = 90 ⋅3125 = 281250.

Sposób II

Nie przejmujmy się na razie faktem, że pierwsza cyfra tworzonej liczby ma być niezerowa, tzn. obliczmy ile jest sześciooelementowych ciągów cyfr (a1,a2,a3,a4,a5,a6) , w których są dokładnie trzy cyfry nieparzyste. Musimy najpierw wybrać trzy miejsca dla cyfr nieparzystych – robimy to na

( ) 6 6⋅-5⋅4- 3 = 3! = 20

sposobów. Potem każdą z cyfr możemy wybrać na 5 sposobów. W sumie jest więc

6 20 ⋅5

takich ciągów. Nie każdy taki ciąg wyznacza jednak liczbę sześciocyfrową – aby tak było pierwszy wyraz ciągu musi być niezerowy. Obliczmy ile jest złych ciągów, tzn. takich o pierwszym wyrazie równym 0. Jeżeli na początku mamy zero, to wciąż musimy wybrać miejsca dla cyfr nieparzystych – możemy to zrobić na

( ) 5 5⋅-4⋅3- 3 = 3! = 10

sposobów. Potem każdą z pozostałych pięciu cyfr wybieramy na 5 sposobów. Jest więc

5 10 ⋅5

ciągów zaczynających się od zera. W sumie jest więc

6 5 6 2 0⋅5 − 10 ⋅5 = 5 (2 0− 2) = 15625 ⋅18 = 281250

liczb spełniających warunki zadania.

Sposób III

Jeżeli w utworzonej liczbie mają być trzy cyfry nieparzyste, to pozostałe trzy cyfry są parzyste. Obliczymy, ile jest liczb sześciocyfrowych o takiej własności.

Miejsca dla trzech cyfr parzystych możemy wybrać na 6 (3) sposoby, ale musimy być trochę ostrożniejsi, bo pierwszą cyfrą nie może być 0.

Jeżeli pierwsza (najbardziej znacząca) cyfra liczby jest parzysta, to możemy ją wybrać na 4 sposoby (nie może być 0). Potem na

( 5) 5 ⋅4 = ---- = 1 0 2 2

sposobów wybieramy miejsca dla pozostałych cyfr parzystych i każdą z 5 cyfr wybieramy na 5 sposobów. W sumie jest więc

4⋅10 ⋅55 = 1 25000

takich liczb.

Jeżeli pierwsza cyfra jest nieparzysta, to możemy ją wybrać na 5 sposobów. Potem na

( ) ( ) 5 5 3 = 2 = 10

sposobów wybieramy miejsca dla cyfr parzystych i każdą z 5 cyfr wybieramy na 5 sposobów. W sumie jest więc

5 5⋅10 ⋅5 = 1 56250

takich liczb.

Wszystkich możliwości jest więc

1 25000 + 1562 50 = 281 250.

 
Odpowiedź: 281250

Wersja PDF