Zadanie nr 1220479

W zbiorze Z = {− 2n + 1,− 2n + 3,...,− 3,− 1,0,1,3,...,2n − 3,2n − 1} , gdzie n > 4 jest liczbą naturalną, zmieniono znaki na przeciwne trzem losowo wybranym liczbom. Wiadomo, że prawdopodobieństwo tego, że suma wszystkich liczb w zbiorze nie uległa zmianie wynosi 1-- 161 . Wyznacz .

Rozwiązanie

Policzmy ile jest liczb w danym zbiorze. Ponieważ

1 = 2⋅1 − 1 , 3 = 2 ⋅2 − 1,...,2n − 1

tych liczb jest . W całym zbiorze jest więc n + n + 1 = 2n + 1 liczb. Zatem możliwości wybrania trzech z nich jest

( ) |Ω | = 2n + 1 = (2n-+-1)(2n-)(2n-−-1)-= n(2n-+-1-)(2n−--1). 3 6 3

Jeżeli a,b i są liczbami, przy których zmieniono znaki, to suma wszystkich liczb się nie zmieni tylko wtedy gdy a+ b + c = 0 (bo a + b + c jest kawałkiem tej sumy i zmienia znak na przeciwny). Jest jednak mały problem, w danym zbiorze jest tylko jedna liczba parzysta, a w równości a + b + c = 0 nie mogą wszystkie trzy liczby być nieparzyste. Zatem jedna z tych liczb, powiedzmy jest równa 0. Mamy w takim razie równość a = −b . Ile jest takich par? – to łatwe, tyle ile jest liczb dodatnich w danym zbiorze, czyli . Mamy zatem równanie