Zadanie nr 6141118

Z pudełka, w którym jest 15 kul ponumerowanych kolejnymi liczbami od 1 do 15, losujemy bez zwracania 5 kul. Oblicz, jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul jest dokładnie jedna para kul z sumą numerów równą 16.

Rozwiązanie

Wszystkich zdarzeń elementarnych jest

( 15) 15 ⋅14 ⋅13 ⋅12⋅ 11 15⋅1 4⋅13 ⋅12 ⋅11 = ------------------ = ------------------= 7⋅ 13⋅3 ⋅11. 5 5! 2⋅ 3⋅4 ⋅5

Wypiszmy wszystkie pary różnych liczb, które w sumie dają 16.

(1,15 ),(2 ,14),(3,13),(4,12),(5,1 1),(6,10),(7,9).

Jest jeszcze liczba 8, która nie ma pary (bo losujemy bez zwracania).

Sposób I

O zdarzeniach sprzyjających myślimy następująco: musimy wybrać jedną z powyższych par, a potem musimy dobrać jeszcze trzy liczby tak, aby nie były z jednej pary.

Jedną parę możemy wybrać na 7 sposobów. Po wybraniu tej pary pozostaje 15 − 2 = 13 liczb i z nich musimy wybrać jeszcze trzy. Trzy pozostałe liczby możemy wybrać na

( ) 13 13 ⋅12 ⋅11 3 = ---2-⋅3----= 286

sposobów. Część z tych trójek będzie jednak zła – obliczmy ile takich jest. W ’złej trójce’ musi być para liczb z sumą 16 (którą już teraz możemy wybrać tylko na 6 sposobów!) oraz jedna dodatkowa liczba. Jest więc

6⋅ (1 5− 4) = 66

takich trójek. W takim razie wybraną na początku parę można uzupełnić do piątki na

2 86− 66 = 220

sposobów. W sumie jest więc

7⋅ 220 = 7 ⋅11 ⋅20

zdarzeń sprzyjających i prawdopodobieństwo jest równe

-7-⋅11⋅-20--= -20---= 20. 7⋅13 ⋅3 ⋅11 13 ⋅3 39

Sposób II

O zdarzeniach sprzyjających myślimy następująco: musimy wybrać jedną z powyższych par, a potem musimy dobrać jeszcze trzy liczby tak, aby nie były z jednej pary.

Jedną parę możemy wybrać na 7 sposobów. Gdy para ta jest ustalona to możliwe są dwie sytuacje: albo jedną z pozostałych liczb jest 8, albo nie.

Jeżeli jest 8 wśród wylosowanych liczb to pozostałe dwie liczby wybieramy następująco: wybieramy dwie pary, z których będą pochodzić te liczby – możemy to zrobić na

( ) 6 6 ⋅5 = ---- = 1 5 2 2

sposobów. Gdy te pary są już wybrane, to z każdej pary wybieramy jedną z dwóch liczb. Jest więc

7 ⋅15 ⋅2⋅ 2 = 7 ⋅15⋅ 4

takich układów.

Jeżeli natomiast wśród wylosowanych liczb nie ma 8, to liczymy podobnie, najpierw wybieramy trzy pary, z których będą pochodzić pozostałe 3 liczby, a potem z każdej pary wybieramy jedną liczbę. Można to zrobić na

(6) 6⋅5 ⋅4 7⋅ ⋅2⋅ 2⋅2 = 7⋅ -------⋅8 = 7 ⋅20 ⋅8 3 2 ⋅3

sposobów.

Prawdopodobieństwo jest więc równe

7 ⋅15 ⋅4+ 7⋅2 0⋅8 20(3 + 8) 20 -------------------= ----------= ---. 7 ⋅13 ⋅3 ⋅11 13 ⋅3 ⋅11 39

Sposób III

Tym razem, zamiast obliczać prawdopodobieństwo opisanego zdarzenia , obliczymy prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego A ′ . Są dwa rodzaje zdarzeń sprzyjających zdarzeniu ′ A : albo nie ma żadnej pary z sumą równą 16, albo takie pary są dwie.

Łatwo obliczyć liczbę zdarzeń z dwoma parami z sumą równą 16 – wybieramy dwie pary spośród 7 par z sumą równą 16, a potem dobieramy 5-tą liczbę dowolnie spośród 15− 4 = 11 pozostałych liczb. Jest więc