/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Równanie prostej/Z parametrem

Zadanie nr 4367775

Prosta y = t przecina proste y = 2x− 1 i y = 0,5x + 2 odpowiednio w punktach A i B .

  • Wyraź długość odcinka AB jako funkcję zmiennej t .
  • Wyznacz takie punkty A i B , aby długość odcinka AB była równa 3.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od schematycznego rysunku opisanej sytuacji.

PIC

  • Aby wyznaczyć współrzędne punktów A i B musimy rozwiązać równania
    t+ 1 ( t+ 1 ) 2x − 1 = t ⇒ x = ----- ⇒ A = -----,t 2 2 0 ,5x + 2 = t ⇒ x = 2t − 4 ⇒ B = (2t − 4,t).

    Ponieważ punkty A i B mają takie same drugie współrzędne (leżą na poziomej prostej y = t ), więc ich odległość to różnica między ich pierwszymi współrzędnymi. Aby uniknąć problemu z tym, czy punkt A jest na lewo od B czy na odwrót, wygodnie jest tę odległość zapisać przy pomocy wartości bezwględnej.

    d(t) = |AB | = |2t− 4− t+-1-| = 1|3t− 9|. 2 2

     
    Odpowiedź: 1|3t− 9| 2

  • Musimy rozwiązać równanie d(t) = 3 .
    1 --|3t− 9| = 3 2 |3t− 9| = 6 3t − 9 = 6 ∨ 3t− 9 = − 6 t = 5 ∨ t = 1.

     
    Odpowiedź: A = (1,1),B = (− 2,1) oraz A = (3,5),B = (6 ,5)

Wersja PDF