Zadanie nr 9186387
Zbadaj dla jakich wartości parametru punkt przecięcia się prostych
i
należy do prostokąta o wierzchołkach
?
Rozwiązanie
Po pierwsze, należy rozszyfrować co to znaczy, że jakiś punkt należy do podanego prostokąta.
Jeżeli go sobie naszkicujemy w układzie współrzędnych, to widać, że warunek ten sprowadza się do dwóch podwójnych nierówności
![− 1 ≤ x ≤ 1 ∧ − 2 ≤ y ≤ 2.](https://img.zadania.info/zad/9186387/HzadR2x.gif)
Musimy zatem znaleźć punkt wspólny podanych prostych i sprawdzić kiedy spełnia on powyższe nierówności. Aby wyznaczyć
musimy rozwiązać układ równań
![{ mx + (2m − 1 )y− 3m = 0 x + my − m = 0.](https://img.zadania.info/zad/9186387/HzadR5x.gif)
Odejmujemy od pierwszego równania drugie pomnożone przez (żeby skrócić
).
![(2m − 1 )y− m2y − 3m + m 2 = 0 m 2 − 3m = y (m2 − 2m + 1) 2 m--−--3m-= y. (m − 1)2](https://img.zadania.info/zad/9186387/HzadR8x.gif)
Po drodze dzieliliśmy przez , więc sprawdźmy jeszcze co się dzieje dla
. Mamy wtedy proste
i
, które nie mają punktów wspólnych.
Wracamy do wyliczenia . Z drugiego równania układu mamy
![( 2 ) x = m (1 − y) = m 1 − --m---−-3m--- = m 2 − 2m + 1 2 2 = m ⋅ m--−-2m--+-1-−-m--+--3m- = m ⋅ -m-+--1--. m 2 − 2m + 1 (m − 1 )2](https://img.zadania.info/zad/9186387/HzadR14x.gif)
Zajmijmy się teraz nierównością . Ponieważ
mamy
![--m-2 +-m---- ---m2-+-m---- − 1 ≤ m2 − 2m + 1 ∧ m 2 − 2m + 1 ≤ 1 2 2 2 2 − m + 2m − 1 ≤ m + m ∧ m + m ≤ m − 2m + 1 0 ≤ 2m2 − m + 1∧ 3m ≤ 1.](https://img.zadania.info/zad/9186387/HzadR17x.gif)
Nierówność kwadratowa jest zawsze spełniona () więc pozostaje
.
Pora na nierówność .
![2 2 − 2 ≤ --m--−--3m---∧ --m--−-3m----≤ 2 m 2 − 2m + 1 m 2 − 2m + 1 − 2m 2 + 4m − 2 ≤ m2 − 3m ∧ m2 − 3m ≤ 2m 2 − 4m + 2 0 ≤ 3m 2 − 7m + 2∧ 0 ≤ m 2 − m + 2.](https://img.zadania.info/zad/9186387/HzadR21x.gif)
Druga nierównosć jest zawsze spełniona (), zajmijmy się więc pierwszą.
![Δ = 49 − 24 = 25 m = 7-−-5-= 1-, m = 7-+-5-= 2 1 6 3 2 6 ( 1⟩ m ∈ − ∞ ,-- ∪ ⟨2,+ ∞ ). 3](https://img.zadania.info/zad/9186387/HzadR23x.gif)
W połączeniu z wcześniej uzyskaną nierównością daje to nam .
Odpowiedź: