Równania kwadratowe

Równanie kwadratowe to równanie postaci

ax 2 + bx + c = 0,

gdzie a,b,c pewne liczby i a ⁄= 0 . Jeżeli a = 0 to w równaniu nie ma i równanie jest liniowe. Przykłady Równanie kwadratowe może mieć 0,1 lub 2 rozwiązania.

Ilość rozwiązań	Przykład
0	, lewa strona jest zawsze dodatnia.
1	, rozwiązanie .
2	, rozwiązania i .

W przypadku prostych równań (jak te powyżej) rozwiązania możemy znaleźć wprost, na przykład

2x2 − 8 = 0 ⇐ ⇒ x2 = 4 ⇐ ⇒ x = − 2 ∨ x = 2

Delta Jeżeli równanie jest bardziej skomplikowane to o ilości rozwiązań mówi nam Δ = b2 − 4ac .

Znak -y	Rozwiązania równania
	Brak rozwiązań.
	Jedno rozwiązanie: .
	Dwa rozwiązania: i .

Spróbujmy ustalić liczbę rozwiązań równania

2 x − 2x + m = 0

w zależności od parametru . Ponieważ Δ = 4 − 4m równanie ma dwa rozwiązania dla m < 1 , jedno rozwiązanie dla m = 1 i nie ma rozwiązań dla m > 1 .

Stosując wzory z -ą należy pamiętać o ważnym założeniu a ⁄= 0 . O ile w przypadku zwykłych równań nie problemu, bo widać czy jest 2 x czy go nie ma, to w przypadku równań z parametrem, musimy zawsze osobno sprawdzić co się dzieje, gdy współczynnik przy 2 x jest zerowy – inaczej powyższe wzory nie mają sensu (wszędzie w mianowniku jest ).

Równanie

ax2 + x = 0

ma jedno rozwiązanie dla a = 0 , pomimo że dla a = 0 mamy Δ = 1 > 0 .

Sprawdźmy kiedy równanie

mx 2 + x + m = 0

ma dokładnie jedno rozwiązanie. Najpierw sprawdzamy przypadek m = 0 – otrzymane równanie liniowe ma dokładnie jedno rozwiązanie. Pozostaje sprawdzić, kiedy Δ = 0 – okazuje się, że dla 1 m = ± 2 .
Ostateczną odpowiedzią jest więc m ∈ {− 12,0 , 12} .

Równanie dwukwadratowe Równanie dwukwadratowe to równanie wielomianowe stopnia 4 postaci

4 2 ax + bx + c = 0.

Dzięki temu, że w równaniu nie występuje ani 3 x , równanie możemy łatwo sprowadzić do równania kwadratowego – wykonujemy podstawienie t = x 2 . Po tym podstawieniu otrzymujemy zwykłe równanie kwadratowe

2 at + bt + c = 0 ,

które rozwiązujemy używając -y. Na koniec, gdy mamy wyliczone wartości , musimy wyliczyć z równości 2 x = t .

Rozwiążmy równanie

x 4 − 3x 2 + 2 = 0.

Po podstawieniu t = x 2 mamy równanie

2 t − 3t + 2 = 0 Δ = 9− 8 = 1 ⇒ t1 = 1, t2 = 2 .

Daje nam to cztery pierwiastki wyjściowego równania:

√ -- √ -- x 1 = − 1, x 2 = 1, x 3 = − 2, x 4 = 2.

Tips & Tricks

1W przypadku równań z dużymi współczynnikami, które mają parzysty współczynnik przy , zawsze warto podzielić równanie stronami przez 2 lub nawet przez 4.

2 95- 2 3- 2 95x − 34x + 3 = 0 ⇐ ⇒ 2 x − 1 7x+ 2 = 0 ⇒ Δ = 1 7 − 3 ⋅95 = 4.

Na pierwszy rzut oka przekształcenie to wygląda groźnie, bo pojawiły się ułamki. Nie ma z tym jednak żadnego problemu, bo we wzorze na –ę jest 4ac i ułamki znikną. We wzorach na pierwiastki też jest , więc nie ma problemu.

Przy odrobinie wprawy jest to niezwykle użyteczne uproszczenie.

2Podobnie jak przypadku równań wielomianowych, powinniśmy się nauczyć od ręki zauważać 1 lub − 1 jako pierwiastek.

Jedynka jest pierwiastkiem, gdy suma współczynników jest zero, np. w równaniu

x2 − 25x + 24 = 0.

Dla − 1 jest podobnie, tylko współczynnikowi przy trzeba zmienić znak, np.

x2 + 13x + 12 = 0.

3Wzór na pierwiastek w przypadku Δ = 0 można łatwo zapamiętać na kilka sposobów: jest to dokładnie pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli będącej wykresem równania, czyli -b xw = − 2a . Wystarczy więc pamiętać współrzędne wierzchołka. Jeszcze prostszy sposób to podstawienie Δ = 0 do wzorów z przypadku Δ > 0 – wystarczy pamiętać te wzory.

4W przypadku równania dwukwadratowego i podstawienia 2 t = x ważne jest, aby pamiętać, że musi być t ≥ 0 . Jak zwykle, nabiera to dużego znaczenia przy równaniach z parametrem.

Sprawdźmy kiedy równanie

x 4 + mx 2 − 1 = 0

ma przynajmniej jedno rozwiązanie. Po podstawieniu t = x2 mamy równanie kwadratowe

t2 + mt − 1 = 0,

które musi mieć nieujemne rozwiązanie. Tak się składa, że to równanie kwadratowe ma zawsze dwa rozwiązania ( 2 Δ = m + 4 > 0 ) i zawsze jedno z nich jest dodatnie (ze wzorów Viète’a: iloczyn pierwiastków jest ujemny). Ogólnie sytuacja potraﬁ być jednak skomplikowana.

5Równanie dwukwadratowe to nie jedyne równanie, które łatwo sprowadza się do równania kwadratowego. Podobna sytuacja ma miejsce zawsze, gdy umiemy równanie sprowadzić do postaci, w której jest pewne wyrażenie z niewiadomą i kwadrat tego wyrażania.

Rozwiążmy równanie

4x − 3⋅2x − 4 = 0 x 2 x (2 ) − 3 ⋅2 − 4 = 0 t = 2x 2 t − 3t − 4 = 0 Δ = 9 + 1 6 = 25 ⇒ t1 = − 1, t2 = 4.

Ujemne rozwiązanie odrzucamy i mamy

2x = 4 ⇐ ⇒ x = 2.

Rozwiążmy równanie cos2 x+ sin x = 1 w przedziale ⟨0 ,2π⟩

1 − sin2 x+ sin x = 1 t = sin x 1 − t2 + t = 1 0 = t2 − t = t(t− 1) t = 0, t = 1 1 2 sin x = 0 ∨ sin x = 1 { π- } x ∈ 0, 2,π ,2π .

6Jeżeli równanie kwadratowe 2 ax + bx + c = 0 ma dwa pierwiastki i x 2 , to lewą stronę możemy zapisać w postaci

a(x − x1)(x − x2) = 0 .

W przypadku samego rozwiązywania równania niewiele mądrego z tego wynika, ale w przypadku innych zadań (szczególnie z funkcją kwadratową) jest to bardzo ważne. W zasadzie o wzorach na pierwiastki powinno się myśleć nie jak o wzorach na rozwiązania równania kwadratowego, ale jak o wzorach pozwalających rozłożyć wyrażenie ax 2 + bx + c na iloczyn a(x − x1)(x − x 2) (nawet jak nie ma równania). Im szybciej nauczymy się tak myśleć, tym łatwiej będziemy rozwiązywać różne zadania z funkcją kwadratową.