/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo

Zadanie nr 1164803

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Niech n będzie liczbą naturalną. Ze zbioru liczb {1,2,3 ,...,2n+ 1} losujemy dwie liczby (mogą być równe). Oblicz prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb będzie większa od 2n + 1 .

Rozwiązanie

Jeżeli za zdarzenia elementarne przyjmiemy uporządkowane pary (a,b) wylosowanych liczb, to

|Ω | = (2n + 1)2.

Policzmy teraz ilość zdarzeń sprzyjających Jeżeli pierwszą z wylosowanych liczb jest:
1 – to na drugą mamy 1 możliwość: 2n + 1 ,
2 – to na drugą mamy 2 możliwości: 2n,2n + 1 ,
3 – to na drugą mamy 3 możliwości: 2n − 1,2n,2n + 1 ,
…,
2n – to na drugą mamy 2n możliwości: 2,...,2n + 1 ,
2n + 1 – to na drugą mamy 2n + 1 możliwości: 1 ,...,2n + 1 .
Wszystkich zdarzeń sprzyjających jest zatem

1 + 2n + 1 1+ 2+ ⋅ ⋅⋅+ (2n + 1 ) = -----------⋅(2n + 1 ) = (n+ 1)(2n + 1) 2

(skorzystaliśmy ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego). Zatem

(n-+-1)(2n-+--1) -n-+-1- P = (2n + 1)2 = 2n + 1.

 
Odpowiedź: -n+1- 2n+ 1

Wersja PDF