/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo

Zadanie nr 2817480

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Uzasadnij, że

1 P ((A′ ∪ B) ∩ A) ≥ -, 6

jeżeli ′ 1 P(A ) = 3 i ′ 1 P(B ) = 2 .

Rozwiązanie

Sposób I

Rysujemy sobie obrazek i patrzymy czym jest interesujący nas zbiór.

PIC

Na obrazku zaznaczyliśmy zbiór ′ A ∪ B . Powinno być jasne, że jak weźmiemy jego część wspólną z A to otrzymamy A ∩ B . Zatem

(A ′ ∪ B )∩ A = A ∩ B

i mamy pokazać nierówność

P(A ∩ B ) ≥ 1-. 6

Przekształcamy nierówność dalej korzystając ze wzoru

P(A ∩ B) = P (A )+ P (B) − P (A ∪ B ).

Mamy więc

1 P (A) + P (B) − P(A ∪ B) ≥ -- 6 2-+ 1− P(A ∪ B) ≥ 1- 3 2 6 4 + 3 − 1 ----------≥ P(A ∪ B ) 6 1 ≥ P (A ∪ B ).

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa, a przekształcaliśmy nierówność w sposób równoważnościowy (tzn. możemy przekształcenia zapisać w odwrotnej kolejności), więc wyjściowa nierówność też jest prawdziwa.

Sposób II

Korzystamy ze wzoru

P(A ∩ B) = P (A )+ P (B) − P (A ∪ B ).

Liczymy

′ ′ ′ P ((A ∪ B) ∩ A ) = P(A ∪ B )+ P(A )− P(A ∪ B ∪ A ).

Ostatnie prawdopodobieństwo to oczywiście 1 (bo w nawiasie mamy sumę A i A ′ ), więc

′ ′ ′ 1- P ((A ∪ B) ∩ A) = P(A ∪ B )+ P (A )− 1 = P(A ∪ B )− 3.

Musimy zatem wykazać nierówność

′ 1 1 P(A ∪ B )− --≥ -- 3 6 P(A ′ ∪ B ) ≥ 1-+ 2-= 1-. 6 6 2

To jest jednak oczywiste, bo 1 P (B) = 2 i ′ P(A ∪ B ) ≥ P(B ) .

Sposób III

Korzystamy ze wzoru

P((A ∪ B )∩ C ) = P ((A ∩ C )∪ (B ∩ C )),

który łatwo sobie uzasadnić na diagramie Venna. W naszej sytuacji mamy

P((A ′ ∪ B )∩ A ) = P ((A′ ∩ A) ∪ (B ∩ A )) = = P(∅ ∪ (B ∩ A)) = P(A ∩ B ).

Dalej liczymy jak w I sposobie.

Wersja PDF