/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo

Zadanie nr 3822939

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Na loterię przygotowano 30 losów, z których n jest wygrywających. Kupujemy 2 razy po jednym losie. Wyznacz n , jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo kupienia w ten sposób dwóch losów wygrywających jest równe 219 .

Rozwiązanie

Sposób I

Zastanówmy się jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy los jest wygrywający. Mamy trzydzieści losów (to jest nasza Ω ) spośród których n jest wygrywających, czyli prawdopodobieństwo wynosi

n --. 30

Teraz zastanówmy się jakie jest prawdopodobieństwo, że drugi jest wygrywający. Po pierwszym losowaniu zostało nam 29 losów w tym n − 1 losów wygrywających (bo wylosowaliśmy jeden los wygrywający wcześniej). Zatem prawdopodobieństwo wynosi

n-−-1- 29 .

Naszą sytuację możemy przedstawić na drzewku

PIC

Zatem otrzymujemy równanie

n n − 1 1 ---⋅ ------= --- / ⋅ 29⋅3 0 3 0 29 29 n (n− 1) = 30 n 2 − n − 3 0 = 0.

Liczymy wyróżnik i pierwiastki

Δ = 1 + 4 ⋅30 = 121 = 112 1-−-11- 1-+-11- n = 2 = − 5 lub n = 2 = 6.

Odrzucamy rozwiązanie ujemny i otrzymujemy, że n = 6 .

Sposób II

Parę losów możemy wybrać na

30 ⋅29

sposobów (uwzględniamy kolejność), a parę dwóch losów wygrywających na

n ⋅(n − 1)

sposobów (pierwszy los na n sposobów, a drugi na n − 1 ). Mamy więc równanie

n-(n-−-1) = 1-. 30⋅ 29 29

Rozwiązujemy je dokładnie tak samo jak w I sposobie.  
Odpowiedź: n = 6

Wersja PDF