/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo

Zadanie nr 4213335

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Do woreczka wrzucono 3 monety 5 złotowe, 4 monety 2 złotowe, 2 monety 1 złotowe oraz 8 monet 50 groszowych. Karol losowo wyjmuje z woreczka 10 monet. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosuje w ten sposób co najmniej 10 zł? Wynik podaj z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.

Rozwiązanie

Aby nie pomylić się w liczeniu zdarzeń załóżmy, że odróżniamy od siebie monety, czyli w sumie w woreczku jest

3+ 4+ 2+ 8 = 17

monet oraz

( ) ( ) |Ω | = 17 = 17 = 17-⋅16-⋅15-⋅14-⋅13⋅-12⋅1-1 = 10 7 7! 17 ⋅16 ⋅15 ⋅2⋅ 13⋅ 12⋅1 1 = ------------------------- 6! = 17-⋅16-⋅15-⋅2⋅-13⋅-2⋅11- 5! 17-⋅16-⋅3-⋅2⋅1-3⋅2-⋅11- = 4 ! 17 ⋅16 ⋅3 ⋅13⋅ 11 = ----------------- 3! = 17 ⋅8⋅ 13⋅ 11 = 1944 8.

Teraz musimy policzyć zdarzenia sprzyjające, ale zamiast to robić policzymy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu przeciwnemu, czyli sytuacji, gdy otrzymana kwota jest mniejsza niż 10.

Liczymy najpierw układy, w których jest 5-ka. Oczywiście musi być dokładnie jedna oraz nie może być 2-ki, bo jeżeli jest 5 i 2, to suma monet to co najmniej

5 + 2 + 8⋅ 0,5 = 11.

Z tych samych powodów nie może być 1-ki, bo

5 + 1 + 8⋅ 0,5 = 10.

W takim razie jedyny układ z 5-ką to

5+ 9⋅0 ,5 ,

ale on też nie jest możliwy, bo jest tylko 8 monet 50-groszowych.

Możemy więc założyć, ze największe nominały to 2-ki. Maksymalnie mogą być 3, bo

2 + 2 + 2 + 2+ 6⋅ 0,5 = 11.

Jeżeli są 3, to w sumie dają 6 zł i jedyny możliwy układ to

2+ 2+ 2 + 7 ⋅0,5 = 9,5.

Od razu liczymy ile jest odpowiadających zdarzeń sprzyjających. 3 dwójki możemy wybrać na

( ) 4 3 = 4

sposoby, a 7 50 groszówek na

( ) 8 = 8. 7

W sumie jest więc 4⋅8 = 32 takich zdarzeń.

Jeżeli natomiast są 2 dwójki, to maksymalnie mogą być 2 jedynki, co daje trzy możliwe układy

2 + 2+ 1+ 1+ 6⋅0 ,5 = 9 2 + 2+ 1+ 7⋅0 ,5 = 8,5 2 + 2+ 8⋅ 0,5 = 8.

Dwie dwójki możemy wybrać na

( ) 4 = 4⋅-3 = 6 2 2

sposobów, więc każdemu z powyższych zdarzeń odpowiada odpowiednio

( ) ( ) ( ) 6⋅ 2 ⋅ 8 = 6 ⋅ 8 = 6 ⋅ 8-⋅7 = 6 ⋅28 2 6 2 2 ( ) ( ) 6⋅ 2 ⋅ 8 = 6 ⋅2 ⋅8 = 6 ⋅16 1 7 ( 8) 6⋅ = 6 8

zdarzeń sprzyjających. W sumie daje to

6 ⋅28 + 6 ⋅16 + 6 = 6(2 8+ 16+ 1) = 6 ⋅45 = 270

takich zdarzeń.

Mamy ponadto dwie konfiguracje z 1 dwójką.

2+ 1+ 1+ 7⋅0 ,5 = 7,5 2+ 1+ 8⋅0 ,5 = 7.

Każdej z powyższych konfiguracji odpowiada odpowiednio

( ) ( ) ( ) 4 2 8 ⋅ ⋅ = 4 ⋅8 = 32. ( 1) ( 2) ( 7) 4 2 8 1 ⋅ 1 ⋅ 8 = 4 ⋅2 = 8.

W sumie daje to 32+ 8 = 40 zdarzeń sprzyjających.

Teraz liczymy konfiguracje, gdy największą monetą jest złotówka. Jest tylko jeden taki układ

1+ 1+ 8 ⋅0,5 = 6.

i dopowiada mu dokładnie jedno zdarzenie sprzyjające.

Ponieważ 50 groszówek jest tylko 8, nie ma już innych możliwości i prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego jest równe

32 + 270 + 4 0+ 1 3 43 1 − p = ------1944-8------ = 19-448 ≈ 0 ,0 18.

Czyli

p ≈ 1− 0,018 = 0 ,982.

 
Odpowiedź: 0,982

Wersja PDF