/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo

Zadanie nr 4403236

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ze zbioru T = {x ∈ C : 2 |x + 3| − |x− 1| = 5+ 3x} losujemy 3 liczby p ,q,r ze zwracaniem i tworzymy funkcję f (x) = px 2 + qx + r . Oblicz prawdopodobieństwa zdarzeń:

  • A – otrzymana funkcja jest parzysta.
  • B – otrzymana funkcja jest różnowartościowa.
  • C – otrzymana funkcja jest stała.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rozszyfrowania zbioru T . Mamy trzy przypadki.

Jeżeli x ≥ 1 to mamy równanie

2x + 6− x+ 1 = 5 + 3x ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1.

Jeżeli 1 > x ≥ − 3 to mamy równanie

2x + 6 + x − 1 = 5 + 3x ⇒ 0 = 0.

Interesują nas rozwiązania całkowite, więc mamy w tym przypadku x ∈ { − 3,− 2,− 1,0} .

Jeżeli x < − 3 to mamy równanie

− 2x − 6 + x − 1 = 5 + 3x ⇒ 4x = −1 2 ⇒ x = − 3.

W tym przypadku nie mamy więc rozwiązań.

Zatem

T = {− 3,− 2,− 1,0 ,1}.

Trzy liczby z tego zbioru możemy wylosować (ze zwracaniem) na

3 |Ω | = 5

sposobów.

  • Aby funkcja była parzysta musi być spełniony warunek (dla każdego x ∈ R )
    f (x) = f(−x ) 2 2 px + qx + r = px − qx + r ⇒ q = 0.

    Zdarzeń sprzyjających jest więc 5⋅5 (p i r dowolne, q = 0 ) i prawdopodobieństwo wynosi

    52- 1- P (A ) = 53 = 5.

     
    Odpowiedź: 1 P(A ) = 5

  • Aby funkcja była różnowartościowa musi być liniowa, czyli p = 0 oraz nie może być stała, czyli q ⁄= 0 Takich trójek jest 4 ⋅5 (q niezerowe i p dowolne) i prawdopodobieństwo wynosi
    4 ⋅5 4 P (B) = --3- = --. 5 25

     
    Odpowiedź: -4 P (B) = 25

  • Aby funkcja była stała, musi być p = q = 0 . Jest 5 takich trójek i prawdopodobieństwo wynosi
    -5- -1- P(C ) = 5 3 = 25 .

     
    Odpowiedź: 1 P(C ) = 25

Wersja PDF